`P = (x^2+y^2) /(x-y)` ` = ((x^2 + y^2 – 2xy) +2xy )/(x-y)` ` = ((x-y)^2 +2xy) / (x-y)` ` = ((x-y)^2)/(x-y) + (2xy)/(x-y)` ` = (x-y) + 2/(x-y) (do\ xy=1)` Vì `x,y` là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : `(x-y) + 2/(x-y) \geq 2\sqrt((x-y).(2)/(x-y))`
`=> (x-y) + 2/(x-y) \geq 2\sqrt2` Dấu `=` xảy ra `<=> x-y = 2/(x-y)` `<=> (x-y)^2 = 2` `<=> x-y = \sqrt 2` hoặc ` x-y=-\sqrt2` Mà ` x > y ` và `x,y` dương nên ` x – y =sqrt2` `<=> x = \sqrt2 + y` Mà `xy=1` nên ` \sqrt2y.y=1` `<=> \sqrt2 . y^2 =1` `<=> y^2 = (\sqrt2)/2` `<=> y = (\sqrt((\sqrt2/2)))^2` `<=> y = \sqrt((\sqrt2/2) (do\ y>0)` Mà `xy =1` nên ` x = 1,189207115`
Vậy `Min_P=2\sqrt2 <=> x = 1,189207115` và `y= \sqrt((\sqrt2/2)`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ta có:
P=$\frac{x^2+y^2}{x-y}$=$\frac{(x-y)^2+2}{x-y}$=x-y+$\frac{2}{x-y}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số x−y,$\frac{2}{x-y}$ dương ta có:
p=(x−y)+$\frac{2}{x-y}$≥2√(x−y).$\frac{2}{x-y}$=2√2
vậy p MIN=2√2
`P = (x^2+y^2) /(x-y)`
` = ((x^2 + y^2 – 2xy) +2xy )/(x-y)`
` = ((x-y)^2 +2xy) / (x-y)`
` = ((x-y)^2)/(x-y) + (2xy)/(x-y)`
` = (x-y) + 2/(x-y) (do\ xy=1)`
Vì `x,y` là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
`(x-y) + 2/(x-y) \geq 2\sqrt((x-y).(2)/(x-y))`
`=> (x-y) + 2/(x-y) \geq 2\sqrt2`
Dấu `=` xảy ra `<=> x-y = 2/(x-y)`
`<=> (x-y)^2 = 2`
`<=> x-y = \sqrt 2` hoặc ` x-y=-\sqrt2`
Mà ` x > y ` và `x,y` dương nên ` x – y =sqrt2`
`<=> x = \sqrt2 + y`
Mà `xy=1` nên ` \sqrt2y.y=1`
`<=> \sqrt2 . y^2 =1`
`<=> y^2 = (\sqrt2)/2`
`<=> y = (\sqrt((\sqrt2/2)))^2`
`<=> y = \sqrt((\sqrt2/2) (do\ y>0)`
Mà `xy =1` nên ` x = 1,189207115`
Vậy `Min_P=2\sqrt2 <=> x = 1,189207115` và `y= \sqrt((\sqrt2/2)`