Cho `x, y, z>0` thỏa mãn `xy+yz+zx+2xyz=1`. CMR: `1/x+1/y+1/z\ge 4(x+y+z)`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Biến đổi giả thiết:

$2(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)=2x+2y+2z+xy+yz+zx+3$

$⇔2(x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)$

$⇔\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=2$

$⇔\dfrac{1}{x+1}-1+\dfrac{1}{y+1}-1+\dfrac{1}{z+1}-1=-1$

$⇔\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=1$

Đặt $\left(\dfrac{x}{x+1};\dfrac{y}{y+1};\dfrac{z}{z+1} \right)=(a;b;c)⇒a+b+c=1$

Ta có: $\begin{cases}x=(x+1)a\\y=(y+1)b\\z=(z+1)c \end{cases}$$⇒\begin{cases}x(1-a)=a\\y(1-b)=b\\z(1-c)=c \end{cases}$

$⇒\begin{cases}x(b+c)=a\\y(c+a)=b\\z(a+b)=c \end{cases}$$⇒\begin{cases}x=\dfrac{a}{b+c}\\y=\dfrac{b}{c+a}\\z=\dfrac{c}{a+b} \end{cases}$

Do đó BĐT cần chứng minh trở thành:

$\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c} \geq 4\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \right)$

Thật vậy, ta có:

$VT=a\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)+b\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a} \right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)$

$⇒VT \geq a\dfrac{4}{b+c}+b.\dfrac{4}{c+a}+c.\dfrac{4}{a+b}$ (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$