Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ + $\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}$ + $\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}$ $\geq$ $

0 bình luận về “Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$ + $\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}$ + $\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}$ $\geq$ $”

1. Đáp án:

    Đặt `VT` của ` BĐT  ` là `A`

   Ta có

   `A^2 = x^2 + 1/x^2 + y^2 + 1/y^2 + z^2 + 1/z^2 + 2\sqrt{(x^2 + 1/x^2)(y^2 + 1/y^2)} + 2\sqrt{(y^2 + 1/y^2)(z^2 + 1/z^2)} + 2\sqrt{(z^2 + 1/z^2)(x^2 + 1/x^2)}`

   Áp dụng BĐT bu-nhi-a-cop-xki ta có

       `2\sqrt{(x^2 + 1/x^2)(y^2 + 1/y^2)} ≥ 2\sqrt{(xy + 1/(xy))^2} = 2(xy + 1/(xy))`

       `2\sqrt{(y^2 + 1/y^2)(z^2 + 1/z^2)} ≥ 2\sqrt{(yz + 1/(yz))^2} = 2(yz + 1/(yz))`

      `2\sqrt{(z^2 + 1/z^2)(x^2 + 1/x^2)} ≥ 2\sqrt{(zx + 1/(zx))^2} = 2(zx + 1/(zx))`

   `-> A^2 ≥ (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) + (1/x^2+ 1/y^2 + 1/z^2 + 2/(xy) + 2/(yz) + 2/(zx))`

   `= (x + y + z)^2 + (1/x + 1/y + 1/z)^2 ≥ (x + y + z)^2 + (9/(x +y + z))^2 = 1^2 + (9/1)^2 = 82`

   `-> A^2 ≥ 82`
   Do `A > 0 -> A ≥ \sqrt{82} (đpcm)`

   Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = z = 1/3`

   cách khác bn có thể sử dụng BĐT
    `\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{x^2+ y^2} ≥ \sqrt{(a + x)^2 + (b + y)^2}`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận

2. `sqrt(x^2+1/x^2)+sqrt(y^2+1/y^2)+sqrt(z^2+1/z^2)>=sqrt((x+y+z)^2+(1/x+1/y+1/z)^2)>=sqrt((x+y+z)^2+(9/(x+y+z))^2)=sqrt(1^2+(9/1)^2)=sqrt82`

   Dấu `= ` khi `x=y=z=1/3`

    

   Bình luận