cho x,y,z>= 0. x+y+z=2. tìm gtnn M=x^2+y^2+z^2 10/07/2021 Bởi Hailey cho x,y,z>= 0. x+y+z=2. tìm gtnn M=x^2+y^2+z^2
Đáp án: Min P= `4/3` khi x = y =z = `2/3` Giải thích các bước giải: Ta có : 3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) ≥ `(x+y+z)^2` Chứng minh : 3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) – `(x+y+z)^2` = 3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) – `x^2` – `y^2` – `z^2` – 2xy – 2yz – 2zx =2`x^2` + 2`y^2` + 2`z^2` – 2xy – 2yz – 2zx = `x^2` – 2xy + `y^2` + `y^2` – 2yz + `z^2` + `z^2` – 2xz + `x^2` = `(x-y)^2` + `(y-z)^2` + `(z-x)^2` ≥ 0 ⇒ 3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) ≥ `(x+y+z)^2` = `2^2` = 4 => `x^2` + `y^2` + `z^2` ≥ `4/3` Min P= `4/3` khi x = y =z = `2/3` Bình luận
$M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ⇒$3M=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ $3M=(1^{2}+1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ ⇒$3M\geq(1.x+1.y+1.z)^{2}=(x+y+z)^{2}=2^{2}=4$ (BĐT Bunhicopski) ⇒$M\geq\frac{4}{3}$ Dấu “=” xảy ra ⇔$\left \{ {{x,y,z\geq0} \atop {x+y+z=2}} \atop{\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}} \right.$ ⇔$\left \{ {{x,y,z\geq0} \atop {x+y+z=2}} \atop{x=y=z} \right.$ ⇔$x=y=z=\frac{2}{3}$ Vậy Min$M\geq\frac{4}{3}$ khi $x=y=z\frac{2}{3}$ Bình luận
Đáp án:
Min P= `4/3` khi x = y =z = `2/3`
Giải thích các bước giải:
Ta có : 3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) ≥ `(x+y+z)^2`
Chứng minh :
3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) – `(x+y+z)^2`
= 3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) – `x^2` – `y^2` – `z^2` – 2xy – 2yz – 2zx
=2`x^2` + 2`y^2` + 2`z^2` – 2xy – 2yz – 2zx
= `x^2` – 2xy + `y^2` + `y^2` – 2yz + `z^2` + `z^2` – 2xz + `x^2`
= `(x-y)^2` + `(y-z)^2` + `(z-x)^2` ≥ 0
⇒ 3(`x^2` + `y^2` + `z^2`) ≥ `(x+y+z)^2` = `2^2` = 4
=> `x^2` + `y^2` + `z^2` ≥ `4/3`
Min P= `4/3` khi x = y =z = `2/3`
$M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
⇒$3M=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$3M=(1^{2}+1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
⇒$3M\geq(1.x+1.y+1.z)^{2}=(x+y+z)^{2}=2^{2}=4$ (BĐT Bunhicopski)
⇒$M\geq\frac{4}{3}$
Dấu “=” xảy ra
⇔$\left \{ {{x,y,z\geq0} \atop {x+y+z=2}} \atop{\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}} \right.$ ⇔$\left \{ {{x,y,z\geq0} \atop {x+y+z=2}} \atop{x=y=z} \right.$ ⇔$x=y=z=\frac{2}{3}$
Vậy Min$M\geq\frac{4}{3}$ khi $x=y=z\frac{2}{3}$