Cho x + y + z = 1. Chứng minh $x^2 + y^2 + z^2$ ≥ $\frac{1}{3}$ Làm đơn giản dễ hiểu thôi nhá .-. 12/08/2021 Bởi Jasmine Cho x + y + z = 1. Chứng minh $x^2 + y^2 + z^2$ ≥ $\frac{1}{3}$ Làm đơn giản dễ hiểu thôi nhá .-.
Áp dụng $BĐT$ Bunhiacốpxki được : $\begin{cases}(1.x+1.y+.z) ≤(1²+1²+1²)(x²+y²+z²)=3(y²+y²+z²)\\1≤3(x²+y²+z²)\end{cases}$ $↔️x²+y²+z²$`>=1/3` Dấu $=$ xảy ra khi : $x=y=z$`=1/3` Bình luận
$x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{1}{3}$$⇔ x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{x + y + z}{3}$ ( vì $x + y + z = 1$)$⇔ x^2 + y^2 + x^2 – \frac{x + y + z}{3} ≥ 0$$⇔ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – x – y – z ≥ 0$$⇔ x(3x – 1) + y(3y – 1) + z(3z – 1) ≥ 0$$⇔ x(3x – x – y – z) + y(3y – x – y – z) + z(3z – x – y – z) ≥ 0$$⇔ x(2x – y – z) + y(2y – x -z) + z(2z – x – y) ≥ 0$$⇔ 2x^2 – xy – xz + 2y^2 – xy – yz + 2z^2 – xz – yz ≥ 0$$⇔ (x^2 – 2xy – y^2) + (y^2 – 2yz – z^2) + (x^2 – 2xz – z^2) ≥ 0$$⇔ (x – y)^2 + (y – z)^2 – (x – z)^2 ≥ 0$ (đúng)$⇒ x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{1}{3}$ Dấu “=” xảy ra $⇔ x = y = z =\frac{1}{3}$ Bạn nói đơn giản nên mình dùng biến đổi tương đương chứ làm Bunhia nó ngắn hơn nhiều :)) Bình luận
Áp dụng $BĐT$ Bunhiacốpxki được :
$\begin{cases}(1.x+1.y+.z) ≤(1²+1²+1²)(x²+y²+z²)=3(y²+y²+z²)\\1≤3(x²+y²+z²)\end{cases}$
$↔️x²+y²+z²$`>=1/3`
Dấu $=$ xảy ra khi : $x=y=z$`=1/3`
$x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{1}{3}$
$⇔ x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{x + y + z}{3}$ ( vì $x + y + z = 1$)
$⇔ x^2 + y^2 + x^2 – \frac{x + y + z}{3} ≥ 0$
$⇔ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – x – y – z ≥ 0$
$⇔ x(3x – 1) + y(3y – 1) + z(3z – 1) ≥ 0$
$⇔ x(3x – x – y – z) + y(3y – x – y – z) + z(3z – x – y – z) ≥ 0$
$⇔ x(2x – y – z) + y(2y – x -z) + z(2z – x – y) ≥ 0$
$⇔ 2x^2 – xy – xz + 2y^2 – xy – yz + 2z^2 – xz – yz ≥ 0$
$⇔ (x^2 – 2xy – y^2) + (y^2 – 2yz – z^2) + (x^2 – 2xz – z^2) ≥ 0$
$⇔ (x – y)^2 + (y – z)^2 – (x – z)^2 ≥ 0$ (đúng)
$⇒ x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{1}{3}$
Dấu “=” xảy ra $⇔ x = y = z =\frac{1}{3}$
Bạn nói đơn giản nên mình dùng biến đổi tương đương chứ làm Bunhia nó ngắn hơn nhiều :))