cho x + y + z – 3xyz = 0; x ,y ,z là 3 số khác nhau. Tính giá trị cảu biểu thức A A = $\frac{1}{a² + b² – c² }$ + $\frac{1}{b² + c²- a² }$ + $\frac

Đáp án :

`A=-3/2`

Giải thích các bước giải :

`+)x^3+y^3+z^3-3xyz=0`

`<=>x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz=0`

`<=>(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0`

`<=>(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)=0`

`<=>(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy)=0`

`<=>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0`

`+)Th1 :`

`x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0`

`<=>2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0`

`<=>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0`

`<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=0`

`<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0`       (*)

Vì `(x-y)^2 ≥ 0; (y-z)^2 ≥ 0; (z-x)^2 ≥ 0  ∀ a,b,c ∈ R`

`=>` Để xảy ra (*)

`<=>`$\begin{cases}(x-y)^2=0\\(y-z)^2=0\\(z-x)^2=0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}$

`=>x=y=z`

Mà `x≠y≠z`

`=>`Loại `x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0`

`+)Th2 :`

`x+y+z=0`

`<=>x+y=-z`

`<=>(x+y)^2=(-z)^2`

`<=>x^2+2xy+y^2=z^2`

`<=>x^2+y^2-z^2=-2xy`

`+)` Tương tự ta có :

`y^2+z^2-x^2=-2yz`

`z^2+x^2-y^2=-2zx`

`+)A=(xy)/(x^2+y^2-z^2)+(xz)/(x^2+z^2-y^2)+(yz)/(y^2+z^2-x^2)`

`<=>A=(xy)/(-2xy)+(zx)/(-2zx)+(yz)/(-2yz)`

`<=>A=(xyz)/(-2xyz)+(xyz)/(-2xyz)+(xyz)/(-2xyz)`

`<=>A=(xyz+xyz+xyz)/(-2xyz)`

`<=>A=(3xyz)/(-2xyz)`

`<=>A=3/-2`

Vậy `A=-3/2`

~Chúc bạn học tốt !!!~

Trả lời