Cho x, y, z đôi một khác nhau và $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{x}$ = 0 .Tính giá trị của biểu thức: A= $\frac{yz}{x^{2}+2yz}$ + $\frac{xz

Đáp án:

$A = 1$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0$

$\to \dfrac{xy + yz + zx}{xyz} = 0$

$\to xy + yz + zx = 0$

$\to yz = – xy – zx$

Ta được:

$x^2 + 2yz = x^2 + yz – xy – zx = (x-y)(x – z)$

Chứng minh tương tự, ta được:

$y^2 + 2zx = (y – z)(y -x)$

$z^2 + 2xy = (z – x)(z – y)$

$\to A = \dfrac{yz}{x^2 + 2yz} + \dfrac{zx}{y^2 + 2zx} + \dfrac{xy}{z^2 + 2xy}$

$\to A = \dfrac{yz}{(x -y)(x-z)} + \dfrac{zx}{(y – z)(y – x)} +\dfrac{xy}{(z – x)(z – y)}$

$\to A = -\dfrac{xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z -x)}{(x – y)(y – z)(z – x)}$

$\to A = -\dfrac{x^2y – xy^2 + yz(y – z) + xz^2 – x^2z}{(x – y)(y – z)(z – x)}$

$\to A = -\dfrac{x^2(y – z) – x(y^2 – z^2) + yz(y – z)}{(x – y)(y – z)(z – x)}$

$\to A = -\dfrac{(y-z)(x^2 – xy – xz + yz)}{(x – y)(y – z)(z – x)}$

$\to A = \dfrac{(x – y)(y – z)(z – x)}{(x – y)(y – z)(z – x)} = 1$