Cho x,y,z dương thỏa mãn $\begin{cases} x^2+xy+y^2=1 \\ y^2+yz+z^2=\dfrac{1}{4} \\ x^2+xz+z^2=\dfrac{3}{4} \end{cases}$

0 bình luận về “Cho x,y,z dương thỏa mãn $\begin{cases} x^2+xy+y^2=1 \\ y^2+yz+z^2=\dfrac{1}{4} \\ x^2+xz+z^2=\dfrac{3}{4} \end{cases}$”

1. Đáp án: $ x + y + z = ± \dfrac{\sqrt{7}}{2}$

    

   Giải thích các bước giải: Cách ko tốt lắm, tham khảo:

   $ x² + xy + y² = 1 (1);$

   $y² + yz + z² = \dfrac{1}{4} (2);$

   $ z² + zx + x² = \dfrac{3}{4} (3)$ 

   Nếu $:x = y $ thay vào $ (2) ⇒ x² + xz+ z² = \dfrac{1}{4}$ ko thỏa $(3)$

   $ ⇒ x\neq y ⇒ x – y\neq0 $

   Tương tự $ : y – z\neq0 ; z – x\neq0 $

   Lần lượt nhân $x – y; y – z; z – x$ cho$(1); (2); (3)$ có:

   $ x³ – y³ = x – y (4);$

   $ y³ – z³ = \dfrac{1}{4}(y – z) (5);$

   $ z³ – x³ = \dfrac{3}{4}(z – x) (6)$

   $(4) + (5) + (6) : 0 = (x – y) + \dfrac{1}{4}(y – z) + \dfrac{3}{4}(z – x)$

   $ ⇔ x = 3y – 2z (*)$ thay vào $(1)$

   $ (3y – 2z)² + y(3y – 2z) + y² = 1 $

   $ ⇔ 13y² – 14yz + 4z² = 1 (7)$

   $ (4) ⇔ 4y² + 4yz + 4z² = 1 (8)$

   $(7) – (4) : 9y² – 18yz = 0 ⇔ 9y(y – 2z) = 0$

   – TH1 $: y = 0 $ thay vào hệ ko thỏa mãn

   – TH2 $: y – 2z = 0 ⇔ y = 2z $ thay vào $(2)$

   $ 4z² + 2z² + z² = \dfrac{1}{4} ⇔ 7z² = \dfrac{1}{4} ⇔ z = ± \dfrac{\sqrt{7}}{14}$

   $ (*) ⇒ x + y + z = 4y – z = 7z = ± \dfrac{\sqrt{7}}{2}$

   Đặt $ y = x² $

   $PT ⇔ 3(y² – y + 1) – m\sqrt{(y + 1)(y² – y + 1)} + 3(y + 1) = 0 (*)$

   Chia 2 vế của $(*)$ cho $y + 1$ và đặt :

   $ t = \sqrt{\dfrac{y² – y + 1}{y + 1}} = \sqrt{y + 1 + \dfrac{3}{y + 1} – 3} ≥ \sqrt{2\sqrt{3} – 3}$ 

   Ta có PT bậc 2 theo $t :  3t² – mt + 3 = 0(**)$

   Để PT đã cho có 2 nghiệm $x$ phân biệt  $ ⇔ (*)$ có 1 nghiệm $y > 0$

   $ ⇔ (**)$ có nghiệm $t $ thỏa $ 0 < t_{1} ≤ \sqrt{2\sqrt{3} – 3} ≤ t_{2}$

   Cần đồng thời 2 điều kiện:

   1) $ Δ = m² – 36 ≥ 0 ⇔ m ≥ 6 (1)$ ( vì từ PT ban đầu $ ⇒ m > 0)$

   2) $f(0) >0; f(\sqrt{2\sqrt{3} – 3}) ≤ 0$. Với $f(t) = 3t² – mt + 3 $

   $ f(0) = 3 > 0$

   $ f(\sqrt{2\sqrt{3} – 3}) = 3(2\sqrt{3} – 3) – m\sqrt{2\sqrt{3} – 3} + 3 ≤ 0$

   $ ⇔ m\sqrt{2\sqrt{3} – 3} ≥ 6(\sqrt{3} – 1) ⇔ m ≥ \dfrac{6(\sqrt{3} – 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} – 3} } (2)$

   Kết hợp $(1); (2) ⇒ m ≥ \dfrac{6(\sqrt{3} – 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} – 3} } $

   Khi đó $ t_Ơ2}

   Từ $ t = \sqrt{\dfrac{y² – y + 1}{y + 1}}$

   $ ⇔ t²(y + 1) = y² – y + 1 ⇔ y² – (t² + 1)y + 1 – t² = 0 (***)$

   Với $ t

    

   Bình luận