Cho $x;y;z\ge 0$ và $(x+y)(y+z)(z+x)\ne 0$. CMR: $\\ P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{36(xy+yz+xz)}{(x+y+z)^2}\ge 10$

0 bình luận về “Cho $x;y;z\ge 0$ và $(x+y)(y+z)(z+x)\ne 0$. CMR: $\\ P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{36(xy+yz+xz)}{(x+y+z)^2}\ge 10$”

1. Đáp án:

   Dễ nhận thấy : trong các số `x,y,z` không có `2` số nào đồng thời bằng `0`

    Nhận `2` vế của ` BĐT ` với `xy + yz + zx > 0` , ta có : 

   `∑xy . (x/(y + z) + y/(z + x) + z/(x + y) + (36∑xy)/(∑x)^2) ≥ 10∑xy`

   biến đổi và đưa về như sau : 

   `∑x^2 + xyz(1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(z + x)) + (36(∑xy)^2)/(∑x)^2 ≥ 10∑xy (**)`

   `<=> (∑x)^2 + xyz(1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(z + x)) + (36(∑xy)^2)/(∑x)^2 ≥ 12∑xy`

   Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có : 

   `(∑x)^2 + (36(∑xy)^2)/(∑x)^2  ≥ 2\sqrt{(∑x)^2  . (36(∑xy)^2)/(∑x)^2 } = 12∑xy (1)`

   đồng thời `xyz(1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(z + x)) ≥ 0 (2)`

   Đem `(1) + (2) -> đpcm`

   Dấu “=” xảy ra `<=> (x,y,z)` là hoán vị của `(0, k , k(\sqrt{3} + 2)) (k > 0)`

   Giải thích các bước giải:

   Bình luận