cho x,y,z là các số nguyên dương .Chứng minh rằng biểu thức sau ko có giá trị nguyên. A=( x /(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x))
cho x,y,z là các số nguyên dương .Chứng minh rằng biểu thức sau ko có giá trị nguyên. A=( x /(x+y))+(y/(y+z))+(z/(z+x))
Ta có
` x/(x+y) > x/(x+y+z)`
` y/(y+z) > y/(x+y+z)`
` z/(z+x) > z/(x+y+z)`
` => A = x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) > (x+y+z)/(x+y+z)`
` => A > 1` (*)
—–
Áp dụng công thức ` a/b < 1 => a/b < (a+c)/(b+c) `
Lại có
` x/(x+y) < (x+z)/(x+y+z)`
` y/(y+z) < (y+x)/(x+y+z)`
` z/(z+x) < (z+y)/(x+y+z)`
` => A < (x+z+y+x+z+y)/(x+y+z) = (2(x+y+z))/(x+y+z) = 2` (**)
Từ (*);(**) suy ra ` 1 < A < 2`
` => A` không có giá trị nguyên
Đáp án:
`A cancel{in} Z`
Giải thích các bước giải:
`z>0`
`=>x+y<x+y+z`
`=>x/(x+y)>x/(x+y+z)`
Hoàn toàn tương tự:
`y/(y+z)>y/(x+y+z)`
`z/(z+x)>z/(x+y+z)`
`=>A>(x+y+z)/(x+y+z)=1(1)`
`y>0`
`=>x+y>x`
`=>x/(x+y)<1`
`=>x/(x+y)<(x+z)/(x+y+z)`
Hoàn toàn tương tự:
`y/(y+z)<(y+x)/(x+y+z)`
`z/(z+x)<(z+y)/(x+y+z)`
`=>A<(2x+2y+2z)/(x+y+z)=2(2)`
`(1)(2)=>1<A<2`
`=>A` không phải là số có giá trị nguyên.