Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng $\dfrac{x^2}{y- 1} + \dfrac{y^2}{z-1} + \dfrac{z^2}{x – 1} \geq 12$

Đáp án + giải thích các bước giải:

\begin{array}{1} x,y,z>1 \rightarrow x-1,y-1,z-1>0 \\ \text{Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:} \\ \dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{z-1} \ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1} . \dfrac{y^2}{z-1}}=2 \dfrac{x}{\sqrt{y-1}} . \dfrac{y}{\sqrt{x-1}}\\ \text{Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si:}\\\sqrt{1.(y-1)}.\sqrt{1.(x-1)}\le \dfrac{1+x-1}{2} . \dfrac{1+y-1}{2}=\dfrac{xy}{4}\\\rightarrow 2 \dfrac{x}{\sqrt{y-1}} . \dfrac{y}{\sqrt{x-1}}\ge 2xy . \dfrac{1}{\dfrac{xy}{4}}=8\\ \rightarrow\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{z-1}\ge8\\ \text{Chứng minh tương tự ta được:}\\\begin{cases} \dfrac{y^2}{z-1}+\dfrac{z^2}{x-1}\ge8 \\ \dfrac{z^2}{x-1}+\dfrac{x^2}{y-1}\ge8 \end{cases}\\ \rightarrow 2(\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{z-1}+\dfrac{z^2}{x-1})\ge8+8+8\\ \rightarrow \dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{z-1}+\dfrac{z^2}{x-1}\ge 12\\\text{Dấu “=” xảy ra khi} \begin{cases} \dfrac{x^2}{y-1}=\dfrac{y^2}{z-1}=\dfrac{z^2}{x-1} \\ x-1=y-1=z-1=1 \\ x,y,z>1 \end{cases}\\ \text{hay } x=y=z=2 \end{array}