Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{y+2} + \dfrac{1}{z+2}\geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$

Đáp án:

\(\max P = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 1\) 

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{y+2} + \dfrac{1}{z+2} \geqslant 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x+2} \geqslant 1 – \dfrac{1}{y+2} – \dfrac{1}{z+2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{2}{x+2} \geqslant 1 – \dfrac{2}{y+2} + 1 – \dfrac{2}{z+2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{2}{x+2} \geqslant \dfrac{y}{y+2} + \dfrac{z}{z+2} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{yz}{(y+2)(z+2)}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x+2} \geqslant \sqrt{\dfrac{yz}{(y+2)(z+2)}}\\
\text{Hoàn toàn tương tự, ta được:}\\
\dfrac{1}{y+2} \geqslant \sqrt{\dfrac{zx}{(z+2)(x+2)}}\\
\dfrac{1}{z+2} \geqslant \sqrt{\dfrac{xy}{(x+2)(y+2)}}\\
\text{Nhân vế theo vế ta được:}\\
\dfrac{1}{(x+2)(y+2)(z+2)} \geqslant \dfrac{xyz}{(x+2)(y+2)(z+2)}\\
\Leftrightarrow xyz \leqslant 1\\
\Leftrightarrow P \leqslant 1\\
\text{Dấu = xảy ra} \Leftrightarrow x = y = z = 1\\
\text{Vậy}\ \max P = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 1
\end{array}\)