Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{y+2} + \dfrac{1}{z+2}\geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$

0 bình luận về “Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{y+2} + \dfrac{1}{z+2}\geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=xyz$”

1. Đáp án:

   \(\max P = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 1\) 

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   \quad \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{y+2} + \dfrac{1}{z+2} \geqslant 1\\
   \Leftrightarrow \dfrac{1}{x+2} \geqslant 1 – \dfrac{1}{y+2} – \dfrac{1}{z+2}\\
   \Leftrightarrow \dfrac{2}{x+2} \geqslant 1 – \dfrac{2}{y+2} + 1 – \dfrac{2}{z+2}\\
   \Leftrightarrow \dfrac{2}{x+2} \geqslant \dfrac{y}{y+2} + \dfrac{z}{z+2} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{yz}{(y+2)(z+2)}}\\
   \Leftrightarrow \dfrac{1}{x+2} \geqslant \sqrt{\dfrac{yz}{(y+2)(z+2)}}\\
   \text{Hoàn toàn tương tự, ta được:}\\
   \dfrac{1}{y+2} \geqslant \sqrt{\dfrac{zx}{(z+2)(x+2)}}\\
   \dfrac{1}{z+2} \geqslant \sqrt{\dfrac{xy}{(x+2)(y+2)}}\\
   \text{Nhân vế theo vế ta được:}\\
   \dfrac{1}{(x+2)(y+2)(z+2)} \geqslant \dfrac{xyz}{(x+2)(y+2)(z+2)}\\
   \Leftrightarrow xyz \leqslant 1\\
   \Leftrightarrow P \leqslant 1\\
   \text{Dấu = xảy ra} \Leftrightarrow x = y = z = 1\\
   \text{Vậy}\ \max P = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 1
   \end{array}\)

   Bình luận