Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z ≤1.Tìm GTNN của P = $\frac{1}{x^2 +y^2 +z^2}$ + $\frac{1}{xy + yz + zx}$

0 bình luận về “Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z ≤1.Tìm GTNN của P = $\frac{1}{x^2 +y^2 +z^2}$ + $\frac{1}{xy + yz + zx}$”

1.  Giải thích các bước giải:

    Ta có: $0< x,y,z ≤ 1$

   Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$

   $⇒P≥\frac{4}{z^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}=$ $\frac{4}{\frac{1}{2}(x+y+z)^2+\frac{`x^2+y^2+z^2}{2}}$

   mà theo đề bài ta có:

   $x+y+z ≤ 1 ⇒0<x,y,z<1$

   $⇔ \frac{x^2+y^2+z^2}{2} < x+y+z ≤1.$ 

   Chứng minh:

   $x^2+y^2+z^2 < 2x+2y+2z$

   $⇔ x(x-2)+y(y-2)+z(z-2) < 0 ($luôn đúng với $0<x,y,z<1)$

   $⇒P ≥\frac{4}{\frac{1}{2}+1} = 6$

   Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6.$

   Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1/3$

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận