Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTLN của biểu thức
$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+dfrac{1}{z^3+x^3_1}$
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTLN của biểu thức
$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+dfrac{1}{z^3+x^3_1}$
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}\\đặt A=\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{x^3+z^3+1}\\CM BĐT:x^3+y^3 \geq xy(x+y)\\↔(x+y)(x^2-xy+y^2) \geq xy(x+y)\\↔(x+y)(x^2-xy-xy+y^2) \geq 0\\↔(x+y)(x-y)^2 \geq 0(luôn đúng)\\↔x^3+y^3+1 \geq xy(x+y)\\↔x^3+y^3+1 \geq xy(x+y)+xyz(xyz=1)\\↔x^3+y^3+1 \geq xy(x+y+z)\\↔\dfrac{1}{x^3+y^3+1} \leq \dfrac{1}{xy(x+y+z)}\\CMTT:\dfrac{1}{y^3+z^3+1} \leq \dfrac{1}{yz(x+y+z)}\\\dfrac{1}{x^3+z^3+1} \leq \dfrac{1}{xz(x+y+z)}\\\text{cộng từng vế các BĐT trên ta có}\\A=\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{x^3+z^3+1} \leq \dfrac{1}{xy(x+y+z)}+\dfrac{1}{yz(x+y+z)}+\dfrac{1}{zx(x+y+z)}\\↔A=\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{x^3+z^3+1} \leq \dfrac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=1(xyz=1)\\\text{dấu = xảy ra khi x=y=z=1}\\\text{vậy Max_A=1↔x=y=z=1}\\\underline{\text{CHÚC BẠN HỌC TỐT}}\\\end{array}$
Bạn tham khảo:
Ta xét $x^{3}+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)≥(x+y)xy$
⇔$x^{3}+y^3+1≥(x+y)xy+1$
⇔$x^{3}+y^3+1≥(x+y)xy+xyz$
⇔$x^{3}+y^3+1≥(x+y+z)xy$
⇔$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}$ $\leq$ $\dfrac{1}{(x+y+z)xy}$
⇔$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}$ $\leq$ $\dfrac{z}{x+y+z}$
Tương quan tự ta được
$\dfrac{1}{z^3+y^3+1}$ $\leq$ $\dfrac{x}{x+y+z}$
$\dfrac{1}{x^3+z^3+1}$ $\leq$ $\dfrac{y}{x+y+z}$
⇒$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+$ $\dfrac{1}{z^3+y^3+1}+$$\dfrac{1}{x^3+z^3+1}$$\leq$ $\dfrac{z}{x+y+z}+$ $\dfrac{x}{x+y+z}+$ $\leq$ $\dfrac{y}{x+y+z}=$\ $\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1$
Vậy $GTLN=1$
Học tốt