Cho x/(y + z + t) = y/(z + t + x) = z/(t + x + y) = t/(x + y + z) Chứng minh P = (x + y)/(z + t) + (y + z)/(t + x) + (z + t)/(x + y) + (t + x)/(y + z)

0 bình luận về “Cho x/(y + z + t) = y/(z + t + x) = z/(t + x + y) = t/(x + y + z) Chứng minh P = (x + y)/(z + t) + (y + z)/(t + x) + (z + t)/(x + y) + (t + x)/(y + z)”

1. Ta có: ` x/(y + z + t) = y/(z + t + x) = z/(t + x + y) = t/(x + y + z) `

   `⇒ (x + y + z + t)/(y + z + t) = (y + z + t + x)/(z + t + x) = (z + t + x + y)/(t + x + y) = (t + x + y + z) /(x + y + z)`

   `TH1: x + y + z + t = 0` ta có:

   `+) x + y = – (z + t)`

   `+) y + z = – (t + x)`

   `+) z + t = – (x + y)`

   `+) t + x = – (y + z)`

   Khi đó: `P = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4`  `(1)`

   `TH2: x + y + z + t \ne 0` ta có:

   `z + y + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z`

   `⇒ x = y = z = t`

   Khi đó: `P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4`  `(2)`

   Từ `(1)` và `(2)` suy ra: `P ∈ Z (đpcm)`

   Bình luận

2. Đáp án:

   `text{Từ :}` `x/(y + z + t) = y/(z + t + x) = z/(t + x + y) = t/(x + y + z)`

   `⇔ (x + y + z + t)/(y + z + t) = (y + z + t + x)/(z + t + x) = (z + t + x + y)/(t + x + y)=(t + x + y + z)/(x + y+z)`

   `text{Trường hợp 1 :}`

   `x + y + z + t\ne 0`

   `⇔ z + y + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z`

   `⇔ x =y = z = t`

   `-> P = (x + x)/(x + x) + (y + y)/(y + y) + (z + z)/(z + z) + (t + t)/(t + t)`

   `-> P = 1 + 1 + 1 + 1`

   `-> P = 4 (1)`

   `text{Trường hợp 2 :}`

   `x + y + z + t = 0`

   `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}(x + t) = – (z + t)\\ y + z = – (t + x)\\ z + t = – (x + y)\\t + x =- (y + z)\end{array} \right.\)

   `-> P = [- (z + t)/(z + t)] + [- (t + x)/(t + x)] + [- (x + y)/(x + y)] + [- (y + z)/(y + z)]`

   `-> P = -1 + (-1) + (-1) + (-1)`

   `->P = -4 (2)`

   `text{Từ (1) và (2)}`

   `-> P ∈ ZZ`

    

   Bình luận