Cho $x, y, z $ thuộc R. CM `x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2 >=x/y+y/z+z/x`

0 bình luận về “Cho $x, y, z $ thuộc R. CM `x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2 >=x/y+y/z+z/x`”

1. Giải thích các bước giải:

   Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có :

   $\bigg(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\bigg).(1^2+1^2+1^2)$

   $≥\bigg(\dfrac{|x|}{|y|}.1+\dfrac{|y|}{|z|}.1+\dfrac{|z|}{|x|}.1\bigg)^2=\bigg(\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\bigg)^2$ $(1)$

   Mặt khác theo BĐT Cauchy ta nhận thấy :

   $\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|} ≥ 3$ $(2)$

   Nên từ $(1)$ và $(2)$ suy ra :

   $3.\bigg(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\bigg) ≥ \bigg(\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\bigg)^2 ≥ 3. \bigg(\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\bigg)$

   Hay : $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2} ≥ \dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|} ≥ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$

   Dấu “=” xảy ra khi $x=y=z$

   Vậy BĐT được hoàn tất !

    

   Bình luận