cho x, y, z thuộc R thỏa mãn: x+y+z=0 và xyz khác 0. tính P=$\frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}$+$\frac{y^2}{z^2+x^2-y^2}$+$\frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}$

0 bình luận về “cho x, y, z thuộc R thỏa mãn: x+y+z=0 và xyz khác 0. tính P=$\frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}$+$\frac{y^2}{z^2+x^2-y^2}$+$\frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}$”

1. Đáp án: $P=-\dfrac32$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $x+y+z=0$

   $\to y+z=-x$

   $\to (y+z)^2=(-x)^2$

   $\to y^2+2yz+z^2=x^2$

   $\to y^2+z^2-x^2=-2yz$

   Chứng minh tương tự:

   $z^2+x^2-y^2=-2zx$

   $x^2+y^2-z^2=-2xy$

   Khi đó:

   $P=\dfrac{x^2}{-2yz}+\dfrac{y^2}{-2xz}+\dfrac{z^2}{-2xy}$

   $\to P=-\dfrac12(\dfrac{x^3}{xyz}+\dfrac{y^3}{xyz}+\dfrac{z^3}{xyz})$

   $\to P=-\dfrac12\cdot\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$

   Lại có:

   $x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$

   $\to x^3+y^3+z^3=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)$

   $\to x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y)$

   $\to x^3+y^3+z^3=0^3-3(x+y)z\cdot 0-3xy(-z)$ vì $x+y+z=0$

   $\to x^3+y^3+z^3=3xyz$

   $\to P=-\dfrac12\cdot\dfrac{3xyz}{xyz}$

   $\to P=-\dfrac32$

   Bình luận