cho x, y, z thuoc Z thoa x^2+y^2=z^2 CM xyz chia het cho 60

0 bình luận về “cho x, y, z thuoc Z thoa x^2+y^2=z^2 CM xyz chia het cho 60”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   60 = 3.4.5 
   Ta cần c/m xyz chia hết cho 3; 4 và 5. 
   Xét x² + y² = z² 
   * Giả sử cả x; y và z đều không chia hết cho 3. 

   Khi đó x; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x²; y² và z² chia cho 3 dư 1. 
   => x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 3 ) 
   Vô lí vì z² ≡ 1 ( mod 3 ) 
   Vậy tồn tại ít nhất 1 số ⋮ 3, do đó xyz ⋮ 3 (1) 
   * Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 4. 
   Khi đó x; y và z chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3. 
   *TH 1 : Cả x; y và z lẻ => x²; y² và z² chia 4 dư 1. 
   => z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại } 
   *TH 2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz⋮ 4 
   *TH 3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ. 
   ……+ Với x; y lẻ thì z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại do z chẵn nên z² ≡ 0 ( mod 4 )} 
   ……+ Với x; z lẻ thì y² = z² – x² ≡ (z – x)(z + x). Ta có bảng sau : 
   ……..z……………x………..z-… 
   ….4m+1…….4n+1………4(m-n)……. 
   ….4m+3…….4n+1…….4(m-n)+2……. 
   Các trường hợp khác tương tự. Ta luôn có y² = (z-x)(z+x)⋮8. Trong khi y²⋮4 nhưng không⋮8 => mâu thuẫn. 
   Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮4 => xyz⋮4 (2) 
   * Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 5. 
   Khi đó x; y và z chia cho 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 => x²; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1. 
   + TH 1 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ 1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 2 ( mod 5 ) { loại } 
   + TH 2 : x² ≡ -1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ -1 ( mod 5 ) { loại } 
   + TH 3 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 0 ( mod 5 ) { loại } 
   Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮5 => xyz⋮5 (3) 
   Từ (1); (2) và (3) => xyz⋮3.4.5 = 60 ( đpcm)

   Bình luận