Chọn ngẫu nhiên ba số phân biệt a , b , c từ tập S = { 1 , 2 , . . . , 35 } . Xác suất để a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3 bằng
Chọn ngẫu nhiên ba số phân biệt a , b , c từ tập S = { 1 , 2 , . . . , 35 } . Xác suất để a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3 bằng
Mình không rõ đề lắm nữa
Ta chứng minh:
`a^3+b^3+c^3` chia hết 3 khi và chỉ khi `a+b+c` chia hết 3 (với `a,b,c\in Z)` $(1)$
`a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3`
`=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)`
`=(a+b+c)^3-3(a+b).c(a+b+c)-3ab(a+b)`
`=(a+b+c)^3 -3(a+b)[c(a+b+c)+ab]`
`=>a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3 -3(a+b)(b+c)(a+c)(1)`
Vì `-3(a+b)(b+c)(a+c) \vdots 3` nên:
+) Nếu `a^3+b^3+c^3 \vdots 3 => (a+b+c)^3 \vdots 3`
`=>a+b+c \vdots 3`
+) Ngược lại, nếu `a+b+c \vdots 3=> (a+b+c)^3 \vdots 3`
`=>a^3+b^3+c^3\vdots 3`
Vậy $(1)$ đúng.
______
Giải
`n(Omega)=C_{35} ^3=6545`
Tập `S={1;2;…;35}` có:
+) Các số chia hết cho 3 là `{3;6;…;33}`
`\quad =>Có\ {33-3}/3 +1 =11` số
+) Các số chia cho 3 dư 1 là `{1;4;…;34}`
`\quad =>Có\ {34-1}/3 +1 =12` số
+) Các số chia cho 3 dư 2 là `{2;5;…;35}`
`\quad =>Có \{35-2}/3 +1 =12` số
Gọi $A$ là biến cố: “$3$ số được chọn có tổng chia hết cho $3$”
+) Cả $3$ số đều chia hết cho $3$, có: `C_{11} ^3=165` cách
+) Cả $3$ số đều chia $3$ dư 1, có:
`C_{12} ^3 =220` cách
+) Cả $3$ số đều chia $3$ dư 2, có:
`C_{12} ^3 =220` cách
+) $1$ số chia hết cho $3$, 1 số chia $3$ dư $1$, $1$ số chia $3$ dư $2$, có:
`C_{11} ^1 .C_{12} ^1 .C_{12} ^1 =1584` cách
`=>n(A)=165+220+220+1584=2189`
`=>P(A)={n(A)}/{n(Omega)}={2189}/{6545}={199}/{595}`