Chứng minh 17 < $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{3}}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{4}}$ + ... + $\frac{1}{\sqrt[]{100}}$ < 18

0 bình luận về “Chứng minh 17 < $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{3}}$ + $\frac{1}{\sqrt[]{4}}$ + ... + $\frac{1}{\sqrt[]{100}}$ < 18”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Xét phân số tổng quát : 

      *  $\frac{1}{\sqrt[]{n} }$  = $\frac{2}{ \sqrt[]{n} + \sqrt[]{n}}$  < $\frac{2}{\sqrt[]{n} +\sqrt[]{n+1}}$  = $\frac{2( \sqrt[]{n} – \sqrt[]{n-1} )}{n-n-1}$ =2($\sqrt[]{n}$ – $\sqrt[]{n+1}$  )

      * $\frac{1}{\sqrt[]{n} }$ = $\frac{2}{ \sqrt[]{n} + \sqrt[]{n}}$ > $\frac{2}{\sqrt[]{n} +\sqrt[]{n+1}}$ =$\frac{2(\sqrt[]{n+1} – \sqrt[]{n}) }{n+1-n}$ =2($\sqrt[]{n+1}$ – $\sqrt[]{n}$  )

   ⇒ 2($\sqrt[]{n+1}$ – $\sqrt[]{n}$  )   < $\frac{1}{\sqrt[]{n} }$ <2($\sqrt[]{n}$ – $\sqrt[]{n+1}$  )

   Cho n nhận các giá trị từ 2 đến 100 và bất đẳng thức trên , sau đó cộng lại ta đc : 

   2( $\sqrt[]{101}$ – $\sqrt[]{2}$ )< $\frac{1}{\sqrt[]{2} }$ + $\frac{1}{\sqrt[]{3} }$ +…+$\frac{1}{\sqrt[]{100} }$ < 2($\sqrt[]{100}$ – $\sqrt[]{1}$ ) = 18

   Mà  2 ($\sqrt[]{101}$ – $\sqrt[]{2}$ ) = 2√101 – 2√2 > 2√100 – 3 = 17

   ⇒ đpcm 

    

   Bình luận