Chứng minh `(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))))/ (2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))` `<1/3` - Yêu cầu giải chi tiết giúp mình ạ.

Chứng minh `(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))))/ (2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))` `<1/3` - Yêu cầu giải chi tiết giúp mình ạ.

0 bình luận về “Chứng minh `(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))))/ (2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))` `<1/3` - Yêu cầu giải chi tiết giúp mình ạ.”

  1. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương.

    `(2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}})/(2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}})<1/3`

    `<=>(6-3sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}-2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}})/(3(2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}))<0`

    `<=>(4-3sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}})/(3(2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}))<0`

    Vì `sqrt2<sqrt4`

    `<=>sqrt{2+sqrt2}<sqrt{2+sqrt4}=2`

    `<=>sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}<sqrt{2+2}=2`

    `<=>2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}>2-2=0`

    Vậy nhất thiết ta phải chứng minh `4-3sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}<0`.

    Ta có:`sqrt2>sqrt{1,9881}`

    `<=>sqrt2>1,41`

    `<=>2+sqrt2>3,41`

    `<=>sqrt{2+sqrt2}>sqrt{3,41}`

    Mà `sqrt{3,41}>sqrt{3,3856}=1,84`

    `<=>sqrt{2+sqrt2}>1,84`

    `<=>2+sqrt{2+sqrt2}>3,84`

    `<=>sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}>sqrt{3,84}`

    Mà `sqrt{3,84}>sqrt{3,8025}=1,95`

    `<=>2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}>3,95`

    `<=>sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}>sqrt{3,95}`

    Mà `sqrt{3,95}>sqrt{3,94975876}=1,9874`

    `<=>sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}>1,9874`

    `<=>3sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}>5,9622`

    `sqrt2<sqrt{2,0164}=1,42`

    `<=>2+sqrt2<3,42`

    `<=>sqrt{2+sqrt2}<sqrt{3,42}`

    Mà `sqrt{3,42}<sqrt{3,4225}=1,85`

    `<=>2+sqrt{2+sqrt2}<3,85`

    `<=>sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}<sqrt{3,85}`

    Mà `sqrt{3,85}<sqrt{3,850032623}=1,96215`

    `<=>sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}<1,96215<1,9622`

    `<=>4+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}<5,9622`

    Mà `3sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}>5,9622`

    `=>4+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}-3sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}<0`

    `=>` ta có điều phải chứng minh là `(2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}})/(2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}})<1/3`.

    Bình luận
  2. Đáp án:

     `(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))))/ (2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))`

    `= [(2 -sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))) )(2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))) )]/[(2 – sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)) ))(2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))) )`

    `= (2^2 – (sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))))^2)/[(2 – sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)) ))(2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))) )`

    `= (4 – 2 – sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)) ) )/[(2 – sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)) ))(2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))) )`

    `= (2 -sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)) ))/[(2 – sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)) ))(2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))) )`

    `= 1/(2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))))`

    Do `sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2))) > -1 -> 2 + sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2))) > 2 + (-1) = 1`

    `-> sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2)))) > \sqrt{1} = 1`

    `-> 1/(2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+ sqrt(2))))) < 1/(2 + 1) = 1/3`

    ( ta có điều phải chứng minh )

    Giải thích các bước giải:

     

    Bình luận

Viết một bình luận