chứng minh : x^3 + ax^2 + bx + 2 chia hết cho x^2 – x -1

Đáp án: $\left\{ \begin{array}{l} a =  – \frac{1}{2}\\ b =  – \frac{3}{2} \end{array} \right.$

Giải thích các bước giải:

Sửa lại đề: tìm a, b để $({x^3} + a{x^2} + bx + 2) \vdots ({x^2} – x – 1)$

$\begin{array}{l} {x^3} + a{x^2} + bx + 2\\  = x({x^2} – x – 1) + (a + 1)({x^2} – x – 1) + (a + b + 2)x + 2 + (a + 1)\\  = (x + a + 1)({x^2} – x – 1) + (a + b + 2)x + (2a + 1) \end{array}$

Để $({x^3} + a{x^2} + bx + 2) \vdots ({x^2} – x – 1)$ thì:

$(a + b + 2)x + (2a + 1) = 0$

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 1 = 0\\ a + b + 2 = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a =  – \frac{1}{2}\\ b =  – \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array}$