Toán Chứng minh: 4(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)>= (x+y+z+t)^2 06/12/2021 By Bella Chứng minh: 4(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)>= (x+y+z+t)^2
Đáp án: Giải thích các bước giải: Với mọi $a, b$ ta có: $(a – b)^{2} ≥ 0 ⇔ a^{2} + b^{2} – 2ab ≥ 0 ⇔ a^{2} + b^{2} ≥ 2ab ⇔ 2a^{2} + 2b^{2} ≥ a^{2} + b^{2} + 2ab ⇔ 2(a^{2} + b^{2}) ≥ (a + b)^{2} (1)$ Áp dụng $(1):$ $ 4(x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2}) = 2[2(x^{2} + y^{2}) + 2(z^{2} + t^{2})] ≥ 2[(x + y)^{2} + (x + t)^{2}] ≥ (x + y + z + t)^{2}$ Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = t$ Trả lời
Ta đi chứng minh BĐT $2.(a^2+b^2) ≥ (a+b)^2$ Thật vậy, ta có : $2.(a^2+b^2) ≥(a+b)^2$ $⇔(a-b)^2 ≥0 $ ( Đúng ) Dấu “=” xảy ra $⇔a=b$ Áp dụng vào bài toán có : $2.(x^2+y^2) ≥(x+y)^2 ⇒ 4.(x^2+y^2) ≥2.(x+y)^2 $ (1) $2.(z^2+t^2) ≥(z+t)^2 ⇒4.(z^2+t^2) ≥2.(z+t)^2 $ $⇒4.(x^2+y^2+z^2+t^2) ≥2.[(x+y)^2+(z+t)^2] ≥ (x+y+z+t)^2$ Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=z=t$ Vậy ta có điều phải chứng minh. Trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với mọi $a, b$ ta có:
$(a – b)^{2} ≥ 0 ⇔ a^{2} + b^{2} – 2ab ≥ 0 ⇔ a^{2} + b^{2} ≥ 2ab ⇔ 2a^{2} + 2b^{2} ≥ a^{2} + b^{2} + 2ab ⇔ 2(a^{2} + b^{2}) ≥ (a + b)^{2} (1)$
Áp dụng $(1):$
$ 4(x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2}) = 2[2(x^{2} + y^{2}) + 2(z^{2} + t^{2})] ≥ 2[(x + y)^{2} + (x + t)^{2}] ≥ (x + y + z + t)^{2}$
Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = t$
Ta đi chứng minh BĐT $2.(a^2+b^2) ≥ (a+b)^2$
Thật vậy, ta có : $2.(a^2+b^2) ≥(a+b)^2$
$⇔(a-b)^2 ≥0 $ ( Đúng )
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b$
Áp dụng vào bài toán có :
$2.(x^2+y^2) ≥(x+y)^2 ⇒ 4.(x^2+y^2) ≥2.(x+y)^2 $ (1)
$2.(z^2+t^2) ≥(z+t)^2 ⇒4.(z^2+t^2) ≥2.(z+t)^2 $
$⇒4.(x^2+y^2+z^2+t^2) ≥2.[(x+y)^2+(z+t)^2] ≥ (x+y+z+t)^2$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=z=t$
Vậy ta có điều phải chứng minh.