Chứng minh: 4(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)>= (x+y+z+t)^2

0 bình luận về “Chứng minh: 4(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)>= (x+y+z+t)^2”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Với mọi $a, b$ ta có:

   $(a – b)^{2} ≥ 0 ⇔ a^{2} + b^{2} – 2ab ≥ 0 ⇔ a^{2} + b^{2} ≥ 2ab ⇔ 2a^{2} + 2b^{2} ≥ a^{2} + b^{2} + 2ab ⇔ 2(a^{2} + b^{2}) ≥ (a + b)^{2} (1)$

   Áp dụng $(1):$

   $ 4(x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2}) = 2[2(x^{2} + y^{2}) + 2(z^{2} + t^{2})] ≥ 2[(x + y)^{2} + (x + t)^{2}] ≥ (x + y + z + t)^{2}$

   Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = t$

   Bình luận

2. Ta đi chứng minh BĐT $2.(a^2+b^2) ≥ (a+b)^2$

   Thật vậy, ta có : $2.(a^2+b^2) ≥(a+b)^2$

   $⇔(a-b)^2 ≥0 $ ( Đúng )

   Dấu “=” xảy ra $⇔a=b$

   Áp dụng vào bài toán có :

   $2.(x^2+y^2) ≥(x+y)^2 ⇒ 4.(x^2+y^2) ≥2.(x+y)^2 $ (1)

   $2.(z^2+t^2) ≥(z+t)^2 ⇒4.(z^2+t^2) ≥2.(z+t)^2 $

   $⇒4.(x^2+y^2+z^2+t^2) ≥2.[(x+y)^2+(z+t)^2] ≥ (x+y+z+t)^2$

   Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=z=t$

   Vậy ta có điều phải chứng minh.

    

   Bình luận