Chứng minh: a^3+b^3+c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 23/07/2021 Bởi Amaya Chứng minh: a^3+b^3+c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
Đáp án: Giải thích các bước giải: $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ – 3abc ⇔ (a+b)$^{3}$ + $c^{3}$ – 3ab(a+b) – 3abc ⇔ ( a + b + c ) [ (a+b)$^{2}$ – ( a + b ) . c + $c^{2}$] – 3ab ( a+b+c) ⇔ ( a + b + c ) ( $a^{2}$ + $b^{2}$ +$c^{2}$ + 2ab – ac – bc – 3ab ) ⇔ ( a + b + c ) ( $a^{2}$ + $b^{2}$ +$c^{2}$ – ab – ac – bc ) ⇒ đpcm Bình luận
`(a + b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+3ab(a+b)+b^3` `⇒a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)` (*) Thế (*) vào biểu thức trên, ta có: `(a^3+b^3+c^3)-3abc` `=(a^3+b^3)+c^3-3abc` `=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc` `=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc` `=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)` `=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(đpcm)` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ – 3abc
⇔ (a+b)$^{3}$ + $c^{3}$ – 3ab(a+b) – 3abc
⇔ ( a + b + c ) [ (a+b)$^{2}$ – ( a + b ) . c + $c^{2}$] – 3ab ( a+b+c)
⇔ ( a + b + c ) ( $a^{2}$ + $b^{2}$ +$c^{2}$ + 2ab – ac – bc – 3ab )
⇔ ( a + b + c ) ( $a^{2}$ + $b^{2}$ +$c^{2}$ – ab – ac – bc )
⇒ đpcm
`(a + b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+3ab(a+b)+b^3`
`⇒a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)` (*)
Thế (*) vào biểu thức trên, ta có:
`(a^3+b^3+c^3)-3abc`
`=(a^3+b^3)+c^3-3abc`
`=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc`
`=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc`
`=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)`
`=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(đpcm)`