Chứng minh: `a^4 + b^4 ge a^3b + ab^3` Biết a và b là số nguyên dương 03/10/2021 Bởi Allison Chứng minh: `a^4 + b^4 ge a^3b + ab^3` Biết a và b là số nguyên dương
Giải thích các bước giải: Ta có vế phải: `a^3 + ab^3 = ab(a^2 + b^2)` `text (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được: )` `ab le (a^2+b^2)/2` `=> a^3b + ab^3 le (a^2+b^2)/2 * (a^2+ b^2)` `=> a^3b + ab^3 le (a^4 + 2a^2b^2 + b^4)/2` `=> a^3b + ab^3 le (a^4 +b^4)/2 + a^2b^2` `text( Lại áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số dương, ta có:)` `a^2b^2 le (a^4+b^4)/2` `=> a^3b +ab^3 le (a^4+b^4)/2 + (a^4+b^4)/2` `=> a^3b +a^3 le a^4 + b^4` Bình luận
$\rm a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3\\ \to a^4+ b^4 – a^3b – ab^3 \ge 0\\ \to a^3(a-b) + b^3(b-a) \ge0\\ \to (a^3-b^3)(a-b)\ge 0\\ \to (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge \\ Ta\ có\ a^2+ab+b^2 = a^2 + 2a* \dfrac{1}{2}b + \dfrac{1}{4} b^2 + \dfrac{3}{4} b^2 = (a+\dfrac{1}{2}b)^2 + \dfrac{3}{4} b^2 \ge0\\ Và\ (a-b)^2 \ge 0 \\ \to a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3\ (điều\ phải\ chứng\ minh)$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có vế phải:
`a^3 + ab^3 = ab(a^2 + b^2)`
`text (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được: )`
`ab le (a^2+b^2)/2`
`=> a^3b + ab^3 le (a^2+b^2)/2 * (a^2+ b^2)`
`=> a^3b + ab^3 le (a^4 + 2a^2b^2 + b^4)/2`
`=> a^3b + ab^3 le (a^4 +b^4)/2 + a^2b^2`
`text( Lại áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số dương, ta có:)`
`a^2b^2 le (a^4+b^4)/2`
`=> a^3b +ab^3 le (a^4+b^4)/2 + (a^4+b^4)/2`
`=> a^3b +a^3 le a^4 + b^4`
$\rm a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3\\ \to a^4+ b^4 – a^3b – ab^3 \ge 0\\ \to a^3(a-b) + b^3(b-a) \ge0\\ \to (a^3-b^3)(a-b)\ge 0\\ \to (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge \\ Ta\ có\ a^2+ab+b^2 = a^2 + 2a* \dfrac{1}{2}b + \dfrac{1}{4} b^2 + \dfrac{3}{4} b^2 = (a+\dfrac{1}{2}b)^2 + \dfrac{3}{4} b^2 \ge0\\ Và\ (a-b)^2 \ge 0 \\ \to a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3\ (điều\ phải\ chứng\ minh)$