Chứng minh: $(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$

Chứng minh: $(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$

0 bình luận về “Chứng minh: $(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$”

  1. CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!

    Trả lời:

    Ta có:

    $(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0$

    $⇔2(a^2+b^2+c^2) -2ab-2ac-2bc \geq 0$

    $⇔2(a^2+b^2+c^2) \geq 2ab+2ac+2bc $

    $⇔3(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

    $⇔(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$ (Đpcm).

    Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$.

    Bình luận
  2. Đáp án:

    $(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

    Giải thích các bước giải:

    $\begin{array}{l}(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)\\↔a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \leq 3a^2+3b^2+3c^2\\↔2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2bc+2ca\\↔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 \geq 0\\↔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0(luôn \,\, đúng)\\\text{Dấu = xảy ra khi a=b=c}\\\end{array}$

    Bình luận

Viết một bình luận