Chứng minh: $(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$ 18/11/2021 Bởi Allison Chứng minh: $(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$
CHÚC BẠN HỌC TỐT!!! Trả lời: Ta có: $(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0$ $⇔2(a^2+b^2+c^2) -2ab-2ac-2bc \geq 0$ $⇔2(a^2+b^2+c^2) \geq 2ab+2ac+2bc $ $⇔3(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$ $⇔(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$ (Đpcm). Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$. Bình luận
Đáp án: $(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$ Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l}(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)\\↔a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \leq 3a^2+3b^2+3c^2\\↔2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2bc+2ca\\↔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 \geq 0\\↔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0(luôn \,\, đúng)\\\text{Dấu = xảy ra khi a=b=c}\\\end{array}$ Bình luận
CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!
Trả lời:
Ta có:
$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0$
$⇔2(a^2+b^2+c^2) -2ab-2ac-2bc \geq 0$
$⇔2(a^2+b^2+c^2) \geq 2ab+2ac+2bc $
$⇔3(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
$⇔(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$ (Đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$.
Đáp án:
$(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)\\↔a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \leq 3a^2+3b^2+3c^2\\↔2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2bc+2ca\\↔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 \geq 0\\↔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0(luôn \,\, đúng)\\\text{Dấu = xảy ra khi a=b=c}\\\end{array}$