Chứng minh: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC 03/09/2021 Bởi Genesis Chứng minh: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC
Áp dụng định lý sin ta có: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ (trong đó R là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, a, b, c là độ dài cạnh đối diện của các góc A, B, C) VT=a.cosA + b.cosB + c.cosC= 2R.(sinA.cosA + sinB.cosB + sinC.cosC)= R(sin2A + sin2B + sin2C)= R[2.sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC]= 2R.sinC[cos(A – B) + cosC] (vì sin(A + B) = sinC)= 4R.sinC.[cos(A -B) – cos(A + B)] (vì cosC = – cos(A + B))= – 4R.sin C.sinA.sin(- B)= 4R.sinC.sinA.sin B ⇒ đpcm Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng định lý sin ta có: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ (trong đó R là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, a, b, c là độ dài cạnh đối diện của các góc A, B, C)
VT=a.cosA + b.cosB + c.cosC
= 2R.(sinA.cosA + sinB.cosB + sinC.cosC)
= R(sin2A + sin2B + sin2C)
= R[2.sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC]
= 2R.sinC[cos(A – B) + cosC] (vì sin(A + B) = sinC)
= 4R.sinC.[cos(A -B) – cos(A + B)] (vì cosC = – cos(A + B))
= – 4R.sin C.sinA.sin(- B)
= 4R.sinC.sinA.sin B
⇒ đpcm