Chứng minh bất đẳng thức: 1/2a+3/b>hoặc=12/(2a+3b), với mọi a,b>0. 25/07/2021 Bởi Parker Chứng minh bất đẳng thức: 1/2a+3/b>hoặc=12/(2a+3b), với mọi a,b>0.
Giải thích các bước giải: Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\,\,\,\left( {\forall x,y > 0} \right)\) (Chứng minh bằng cách xét hiệu ), ta có: \(\begin{array}{l}\frac{1}{{2a}} + \frac{3}{b} = \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{b}} \right)\\ \ge \frac{4}{{2a + b}} + \frac{4}{{b + b}}\\ \ge 4.\frac{4}{{2a + b + b + b}} = \frac{{16}}{{3a + b}} > \frac{{12}}{{3a + b}}\end{array}\) Bình luận
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\,\,\,\left( {\forall x,y > 0} \right)\) (Chứng minh bằng cách xét hiệu ), ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{2a}} + \frac{3}{b} = \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{b}} \right)\\
\ge \frac{4}{{2a + b}} + \frac{4}{{b + b}}\\
\ge 4.\frac{4}{{2a + b + b + b}} = \frac{{16}}{{3a + b}} > \frac{{12}}{{3a + b}}
\end{array}\)