Chứng minh bất đẳng thức sau:
A=(a+b)(1/a+1/b) lớn hơn hoặc bằng 4
B=(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b lớn hơn bằng 6(a,b,c>0)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
A=(a+b)(1/a+1/b) lớn hơn hoặc bằng 4
B=(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b lớn hơn bằng 6(a,b,c>0)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`a)`
`A=(a+b)(1/a+1/b)`
`A=1+a/b+b/a+1`
`A=2+a/b+b/a`
Áp dụng BĐT Co-si
`=>a/b+b/a>=2`$\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}$
`=>a/b+b/a>=2`
`=>A>=4`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`
`b)B=(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b`
`B=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)`
Áp dụng BĐT Co-si
`=>B>=“2`$\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}$ `+“2`$\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}$ `+2`$\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}$
`=>B>=2+2+2`
`=>B>=6`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
Đáp án:
`A=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})>=4`
`B=(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b>=6`
Giải thích các bước giải:
a, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Ta có:
`A=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})>=(a+b).\frac{4}{a+b}=4`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b`
b, Áp dụng bất đẳng thức AM – GM
Ta có:
`B=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}`
`=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)>=2+2+2=6`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`