CHỨNG MINH BĐT a, 2(a^3+b^3)>= (a+b)(a^2+b^2) với a,b>0 b, 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 với a, b>0 20/09/2021 Bởi Jade CHỨNG MINH BĐT a, 2(a^3+b^3)>= (a+b)(a^2+b^2) với a,b>0 b, 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 với a, b>0
a) `2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2)` `⇔2(a^3+b^3)-(a+b)(a^2+b^2)≥0` `⇔2(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a+b)(a^2+b^2)≥0` `⇔(a+b)(2a^2-2ab+2b^2-a^2-b^2)≥0` `⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0` `⇔(a+b)(a-b)^2≥0` Ta có: `a,b>0` `⇒a+b>0` Lại có: `(a-b)^2≥0` Từ hai điều trên: `⇒(a+b)(a-b)^2≥0` `⇒2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2) (đpcm)` b) `4(a^3+b^3)≥(a+b)^3` `⇔4(a^3+b^3)≥a^3+b^3+3a^2b+3ab^2` `⇔3(a+b)(a^2-ab+b^2)≥3a^2b+3ab^2` `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)≥a^2b+ab^2` `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)≥0` `⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0` `⇔(a+b)(a-b)^2≥0` Ta có: `a,b>0` `⇒a+b>0` Lại có: `(a-b)^2≥0` Từ hai điều trên: `⇒(a+b)(a-b)^2≥0` `⇒4(a^3+b^3)≥(a+b)^3 (đpcm)` Bình luận
a) $2.(a^3+b^3) ≥ (a+b).(a^2+b^2)$ $⇔a^3+b^3 ≥ ab^2+a^2b$ $⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2 ≥ 0 $ $⇔a^2.(a-b)-b^2.(a-b) ≥ 0 $ $⇔(a-b)^2.(a+b)≥ 0$ ( Đúng ) b) $4.(a^3+b^3) ≥ (a+b)^3$ $⇔3.(a^3+b^3) ≥ 3ab.(a+b)$ $⇔a^3+b^3 ≥ ab.(a+b)$ $⇔(a-b)^2.(a+b) ≥ 0 $ ( Đúng ) Bình luận
a)
`2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2)`
`⇔2(a^3+b^3)-(a+b)(a^2+b^2)≥0`
`⇔2(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a+b)(a^2+b^2)≥0`
`⇔(a+b)(2a^2-2ab+2b^2-a^2-b^2)≥0`
`⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0`
`⇔(a+b)(a-b)^2≥0`
Ta có:
`a,b>0`
`⇒a+b>0`
Lại có:
`(a-b)^2≥0`
Từ hai điều trên:
`⇒(a+b)(a-b)^2≥0`
`⇒2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2) (đpcm)`
b)
`4(a^3+b^3)≥(a+b)^3`
`⇔4(a^3+b^3)≥a^3+b^3+3a^2b+3ab^2`
`⇔3(a+b)(a^2-ab+b^2)≥3a^2b+3ab^2`
`⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)≥a^2b+ab^2`
`⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)≥0`
`⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0`
`⇔(a+b)(a-b)^2≥0`
Ta có:
`a,b>0`
`⇒a+b>0`
Lại có:
`(a-b)^2≥0`
Từ hai điều trên:
`⇒(a+b)(a-b)^2≥0`
`⇒4(a^3+b^3)≥(a+b)^3 (đpcm)`
a) $2.(a^3+b^3) ≥ (a+b).(a^2+b^2)$
$⇔a^3+b^3 ≥ ab^2+a^2b$
$⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2 ≥ 0 $
$⇔a^2.(a-b)-b^2.(a-b) ≥ 0 $
$⇔(a-b)^2.(a+b)≥ 0$ ( Đúng )
b) $4.(a^3+b^3) ≥ (a+b)^3$
$⇔3.(a^3+b^3) ≥ 3ab.(a+b)$
$⇔a^3+b^3 ≥ ab.(a+b)$
$⇔(a-b)^2.(a+b) ≥ 0 $ ( Đúng )