Toán CHỨNG MINH BĐT a^3 +b^3 + abc >= ab(a+b+c) với a,b,c >0 20/09/2021 By Allison CHỨNG MINH BĐT a^3 +b^3 + abc >= ab(a+b+c) với a,b,c >0
`a^3+b^3+abc≥ab(a+b+c)` `⇔a^3+b^3+abc-ab(a+b+c)≥0` `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)+abc-ab(a+b)-abc≥0` `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2-ab)≥0` `⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0` `⇔(a+b)(a-b)^2≥0` Ta có: `a,b>0` `⇒a+b>0` Lại có: `(a-b)^2≥0` Từ hai điều trên `⇒(a+b)(a-b)^2≥0` `⇒a^3+b^3+abc≥ab(a+b+c) (đpcm)` Trả lời
Ta có: `a^3 +b^3 + abc >= ab(a+b+c)∀a,b,c>0` `<=>a^3+b^3+abc-ab(a+b+c)>=0` `<=>a^3+b^3+abc+a^2b-ab^2-abc>=0` `<=>a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0` `<=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0` `<=>(a+b)(a-b)^2>=0` `=>Đpcm.` Trả lời
`a^3+b^3+abc≥ab(a+b+c)`
`⇔a^3+b^3+abc-ab(a+b+c)≥0`
`⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)+abc-ab(a+b)-abc≥0`
`⇔(a+b)(a^2-ab+b^2-ab)≥0`
`⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0`
`⇔(a+b)(a-b)^2≥0`
Ta có:
`a,b>0`
`⇒a+b>0`
Lại có:
`(a-b)^2≥0`
Từ hai điều trên
`⇒(a+b)(a-b)^2≥0`
`⇒a^3+b^3+abc≥ab(a+b+c) (đpcm)`
Ta có: `a^3 +b^3 + abc >= ab(a+b+c)∀a,b,c>0`
`<=>a^3+b^3+abc-ab(a+b+c)>=0`
`<=>a^3+b^3+abc+a^2b-ab^2-abc>=0`
`<=>a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0`
`<=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0`
`<=>(a+b)(a-b)^2>=0`
`=>Đpcm.`