chứng minh BĐT với a, b không âm
`((a+b)^2)/2+(a+b)/4>=asqrtb+bsqrta`
chứng minh BĐT với a, b không âm `((a+b)^2)/2+(a+b)/4>=asqrtb+bsqrta`
By Genesis
By Genesis
chứng minh BĐT với a, b không âm
`((a+b)^2)/2+(a+b)/4>=asqrtb+bsqrta`
Đáp án:
Ta có
`(a + b)^2/2 + (a + b)/4 `
`= (a + b)/2 (a + b + 1/2)`
`= (a + b)/2 [(a + 1/4) + (b + 1/4)]`
Áp dụng cô si ta có
` (a + b)/2 [(a + 1/4) + (b + 1/4)] ≥ (2\sqrt{ab})/2 . (2\sqrt{a . 1/4} + 2\sqrt{b . 1/4}) = \sqrt{ab}(2 . \sqrt{a}/2 + 2. \sqrt{b}/2) = \sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a\sqrt{b} + b\sqrt{a}`
`-> đpcm`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = 1/4`
Giải thích các bước giải:
Đáp án + giải thích các bước giải:
`(a+b)^2/2+(a+b)/4=(a+b)/2 . (a+b+1/2)`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a+b>=2\sqrt{ab}`
`->(a+b)/2 . (a+b+1/2)>=\sqrt{ab}(a+b+1/2)`
Ta cần chứng minh `\sqrt{ab}(a+b+1/2)>=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}`
`->\sqrt{ab}(a+b+1/2)-\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})>=0`
`->\sqrt{ab}(a-\sqrt{a}+1/4+b-\sqrt{b}+1/4)>=0`
`->\sqrt{ab}[(\sqrt{a}-1/2)^2+(\sqrt{b}-1/2)^2]>=0`
Dấu bằng xảy ra khi \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} a=b \\ \sqrt{a}=\sqrt{b} \end{cases}\\\begin{cases} a=b\\ \sqrt{a}-\dfrac{1}{2}=0 \\ \sqrt{b}-\dfrac{1}{2}=0 \end{cases}\end{array} \right.\)
`->`\(\left[ \begin{array}{l}a=b=0\\a=b=\dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)