chứng minh dạng tổng quát của bất phương trình trung bình nhân trung bình cộng trung bình toàn phương

Giải thích các bước giải:

Ta cần chứng minh

$S_{n}=\dfrac{x_1+x_2+..+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2…x_n}$ 

$+) n=1,n=2\rightarrow (*) $ đúng 

Giả sử $n=k\rightarrow (*)$ đúng 

Ta cần chứng minh $n=k+1$ đúng

Ta có : 

$S_{k+1}=\dfrac{x_1+x_2+..+x_{k+1}}{k+1}=\dfrac{k.\dfrac{1}{k}.(x_1+x_2+..+x_k)+x_{k+1}}{k+1}$

$\rightarrow S_{k+1}\ge \dfrac{k.\sqrt[k]{x_1.x_2..x_k}+x_{k+1}}{k+1}$

Đặt $a^{k+1}=\sqrt[k]{x_1.x_2..x_k}, b^{k+1}=x_{k+1}$

$\rightarrow $Cần chứng minh :

$ k.a^{k+1}+b^{k+1}\ge (k+1).a^k.b$

$\leftrightarrow  k.a^{k}.(a-b)+p(b^{k}-a^k)\ge 0$

$\leftrightarrow  (a-b).(ka^k-b(b^{k-1}+b^{k-2}.a+..+a^{k-1})\ge 0$

$\leftrightarrow  (a-b).((a^k-b^k)+(a^k-b^{k-1}.a)+..+(a^k-b.a^{k-1}.a))\ge 0$

$\leftrightarrow  (a-b)^2.((a^{k-1}+a^{k-2}.b+b^{k-1})+a(a^{k-2}+a^{k-3}.b+..+b^{k-2})+..+a^{k-1})\ge 0$

Luôn đúng vì $a,b\ge 0$

$\rightarrow n=k+1$ đúng

$\rightarrow $Bất đẳng thức đúng với mọi n