Chứng minh hệ thức dưới đây sai: $\frac{sin\alpha + cosa\alpha}{1 – cos\alpha} = \frac{2cos\alpha}{sin\alpha – cos\alpha + 1}$

Giải thích các bước giải:

 Giả sử hệ thức đã cho là đúng, khi đó với mọi \(\alpha  \in R\) ta luôn có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{1 – \cos \alpha }} = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha  – \cos \alpha  + 1}}\\
 \Leftrightarrow \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  – \cos \alpha  + 1} \right) = 2\cos \alpha \left( {1 – \cos \alpha } \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}\alpha  – {{\cos }^2}\alpha } \right) + \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right) = 2\cos \alpha  – 2{\cos ^2}\alpha \\
 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + \sin \alpha  – \cos \alpha  = 0\\
 \Leftrightarrow 1 + \sin \alpha  – \cos \alpha  = 0\\
 \Leftrightarrow \cos \alpha  – \sin \alpha  = 1\\
 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  – 2\sin \alpha .\cos \alpha  + si{n^2}\alpha  = 1\\
 \Leftrightarrow \sin \alpha .\cos \alpha  = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin \alpha  = 0\\
\cos \alpha  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha  = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)

Hệ thức đã cho chỉ đúng khi \(\alpha  = \frac{{k\pi }}{2}\left( {\,\,k \in Z} \right)\)

Do đó, hệ thức đã cho là sai