chứng minh rằng 1< a/a+b +b/b+c +c/c+a

12/07/2021 Bởi Jasmine

0 bình luận về “chứng minh rằng 1< a/a+b +b/b+c +c/c+a <a”

1. Đáp án:

   Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{a + b + c } < \dfrac{a}{a+b }\\ \dfrac{b}{a + b + c} < \dfrac{b}{b + c}\\ \dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{c}{c+a}\end{array} \right.\)

   Cộng theo vế ta được :

   `⇔ a/(a + b+c) + b/(a + b + c) + c/(a + b  + c) < a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a)`

   `⇔ (a + b + c)/(a + b + c) < a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a)`

   `⇔ 1  < a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a)` `(1)`

   $\\$

   $\\$

   Mặt khác có : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a + c}{a + b +c}\\ \dfrac{b}{b + c}<\dfrac{a + b}{a + b + c}\\ \dfrac{c}{a+c}<\dfrac{b+c}{a+b+c}\end{array} \right.\)

   Cộng theo vế ta được :

   `⇔ a/(a + b) + b/(b + c) + c/(a + c) < (a + c)/(a + b + c) + (a + b)/(a + b + c) + (b + c)/(a + b + c)`

   `⇔ a/(a + b) + b/(b + c) + c/(a + c) < (a + c + a +b + b + c)/(a + b + c)`

   `⇔ a/(a + b) + b/(b + c) + c/(a + c) < (2a + 2c + 2b)/(a + b + c)`

   `⇔ a/(a + b) + b/(b + c) + c/(a + c) < (2 (a + b+c) )/(a + b  +c)`

   `⇔ a/(a + b) + b/(b + c) + c/(a + c) < 2` `(2)`

   $\\$

   $\\$

   Từ `(1), (2)`

   `->1  < a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) < 2`

    

   Bình luận

2. áp dụng 

   `x/y<(x+z)/(y+z)`

   `⇒(a)/(a+b+c)<a/(a+b)<(a+c)/(a+b+c)`

   tương tự 

    `⇒(b)/(a+b+c)<b/(c+b)<(a+b)/(a+b+c)`

   `⇒(c)/(a+b+c)<c/(a+c)<(b+c)/(a+b+c)`

   `⇒(a)/(a+b+c)+(b)/(a+b+c)+(c)/(a+b+c)<c/(a+c)+b/(c+b)+a/(a+b)<(a+c)/(a+b+c)+(a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(a+b+c)`

   `⇒1<c/(a+c)+b/(c+b)+a/(a+b)<2`

   Bình luận