Chứng minh rằng: 2 + 2^2 +2^3+…+2^100 vừa chia hết cho 31, vừa chia hết cho 5

0 bình luận về “Chứng minh rằng: 2 + 2^2 +2^3+…+2^100 vừa chia hết cho 31, vừa chia hết cho 5”

1. $\text { Đặt }$ `A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100`

   `⇒ A = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + …. + (2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100)`

   `⇒ A = 2 . (1 + 2 + 2^2 + 2^3) + …. + 2^97 . (1 + 2 + 2^2 + 2^3)`

   `⇒ A = 2 . 15 + … + 2^97 . 15`

   `⇒ A = 2 . 3 . 5 + … + 2^97 . 3 . 5`

   `⇒ A = 5 . (2 . 3 + … + 2^97 . 3)` $\vdots$ `5   (1)`

   $\text { Mặt khác, ta có: }$

    `A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100`

   `⇒ A = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) + … + (2^96 + 2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100)`

   `⇒ A = 2 . (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + …. + 2^97 . (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)`

   `⇒ A = 2 . 31 + … + 2^97 . 31`

   `⇒ A = 31 . (2 + … + 2^97)` $\vdots$ `31   (2)`

   `(1), (2) ⇒ đpcm`

    

   Bình luận

2. Đáp án:

   Ta có : 

   $2 + 2^2 +2^3+…+2^100 $

   $= (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) + ….. + (2^96 + 2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100)$

   $= 2.(1 + 2 +2^2 +  2^3 + 2^4 ) + …. + 2^96( 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)$

   $= 2 . 31 + …. + 2^96 . 31$

   $= 31.(2 + … + 2^96) $chia hết cho 31

   $2 + 2^2 +2^3+…+2^100  $

   $= ( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + (2^3  + 2^4 + 2^5 + 2^6) + … + (2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100)$

   $= 30 + 2^2(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + …. + 2^96(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)$

   $= 30 + 2^2.30 + … + 2^96 .30$

   $= 30.(1+ 2^2 + 2^96) = 5 . 6 . (1  + 2^2 + 2^96) $chia hết cho 5

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận