Chứng minh rằng $3^{2n+3}$ + $2^{4n+1}$ chia hết cho 25

0 bình luận về “Chứng minh rằng $3^{2n+3}$ + $2^{4n+1}$ chia hết cho 25”

1. Đáp án:

   Tìm n để biểu thức chia hết cho 25

   Giải thích các bước giải:

   A=3^(2n+3)+2(4n+1)chia hết cho 25

   có thể dùng pp như phần a để giải phần này

   tôi dùng 1 phương pháp khác cho phong phú và pp nay co thể ap dụng cho phần a)

   Pp lựa chọn phần dư:

   A=3^(2n+3)+2^(4n+1)

   gọi 3^(2n+3)=B,2^(4n+1)=C

   n=1 B=3^(2+3)=3^5=243 chia 25 dư 18

   C=2^5=32 chia 25 dư 7

   B+C chia 25 dư bằng 18+7chia 25 dư 0

   giả sử n=k là số đầu tiên thỏa mãn A=3^(2n+3)+2^(4n+1) chia hết

   cho 25 ta chứng minh với n=k+2 số A cũng chia hết cho 25

   Gọi A(k),B(k), C(k) là giá trị A, B, C ứng với n=k

   khi n=k gọi b là phần dư của B(k) cho 25, c là phần dư của C(k) cho 25

   n=k số A =B(k)+C(k) chia hết cho 25 nên b+c chia hết cho 25

   với k+2 thì B(k+2)=B(k)*9=81B(k), C(k+2)=C(k)*2*8=256C(k)

   A(k+2)=81(B(k)+256C(k)=75B(k)+6B(k)+250…

   A(k+2)=75C(k)+250C(k)+6(B(k)+C(k))

   hai số hạng đầu chứa các nhân tử chia hết cho 25 nên chúng chia hết cho 25

   còn B(k)+C(k) chia hết cho 25 từ đó A(k+2) chia hết cho 25

   ta CM đc n=1 A chia hết cho 25 và nếu với k số A chia hết cho 25 thi với

   k+2 số A cũng chia hết cho 25 vậy với mọi số lẻ n thì A chia hết cho 25

   Bình luận