Chứng minh rằng A=2+2^2+2^3+2^4+…+2^120 cùng chia hết cho 7; 15 và 31

0 bình luận về “Chứng minh rằng A=2+2^2+2^3+2^4+…+2^120 cùng chia hết cho 7; 15 và 31”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   A = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + …. + {2^{120}}\\
    = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + …. + \left( {{2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\\
    = 2\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + …. + {2^{118}}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\\
    = \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\left( {2 + {2^4} + ….. + {2^{118}}} \right)\\
    = 7.\left( {2 + {2^4} + …. + {2^{118}}} \right) \vdots 7\\
   A = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + …. + {2^{120}}\\
    = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ….. + \left( {{2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\\
    = 2\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ….. + {2^{117}}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\\
    = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\left( {2 + {2^5} + ….. + {2^{117}}} \right)\\
    = 15\left( {2 + {2^5} + …. + {2^{117}}} \right) \vdots 15\\
   A = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + …. + {2^{120}}\\
    = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5}} \right) + \left( {{2^6} + {2^7} + {2^8} + {2^9} + {2^{10}}} \right) + ….. + \left( {{2^{116}} + {2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\\
    = 2\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + {2^6}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + ……. + {2^{116}}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right)\\
    = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right)\left( {2 + {2^6} + …. + {2^{116}}} \right)\\
    = 31.\left( {2 + {2^6} + …. + {2^{116}}} \right) \vdots 31
   \end{array}\)

   Bình luận