Chứng minh rằng a. a^3+b^3-ab^2+a^2b không âm với mọi a,b>0 b. a^4+b^4+c^4+d^4 > 4abcd 08/07/2021 Bởi Anna Chứng minh rằng a. a^3+b^3-ab^2+a^2b không âm với mọi a,b>0 b. a^4+b^4+c^4+d^4 > 4abcd
a, (a³-a²b) +b³ -ab² không âm⇔(a³-a²b) +b³ -ab² >=0⇔a²(a-b)-b²(a-b)>=0⇔(a-b)²(a+b)>=0 ( luôn đúng với mọi a,b >=0)⇒ bđt đc c/m b, ta có: `(x-y)^2\ge 0\to x^2+y^2\ge 2xy`ta có: `a^4+b^4\ge 2a^2b^2` `c^4+d^4\ge 2c^2d^2` `\to a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2(a^2b^2+c^2d^2)=2((ab)^2+(cd)^2)\ge 2.2ab.cd`⇒ `\to a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2(a^2b^2+c^2d^2)=2((ab)^2+(cd)^2)\ge 4abcd`Dấu = xảy ra khi a=b=c=d Bình luận
Đáp án:Câu a nếu không sai đề như mình sửa thì bình luận nhé! Giải thích các bước giải: `a)a^3+b^3-ab^2-a^2b>=0` `<=>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0` `<=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0` `<=>(a+b)(a-b)^2>=0` luôn đúng `AAa,b>0` `b)a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd` `<=>a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2>=0` `<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2>=0` luôn đúng. Bình luận
a, (a³-a²b) +b³ -ab² không âm⇔(a³-a²b) +b³ -ab² >=0
⇔a²(a-b)-b²(a-b)>=0
⇔(a-b)²(a+b)>=0 ( luôn đúng với mọi a,b >=0)
⇒ bđt đc c/m
b, ta có: `(x-y)^2\ge 0\to x^2+y^2\ge 2xy`ta có: `a^4+b^4\ge 2a^2b^2` `c^4+d^4\ge 2c^2d^2` `\to a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2(a^2b^2+c^2d^2)=2((ab)^2+(cd)^2)\ge 2.2ab.cd`⇒ `\to a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2(a^2b^2+c^2d^2)=2((ab)^2+(cd)^2)\ge 4abcd`Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
Đáp án:Câu a nếu không sai đề như mình sửa thì bình luận nhé!
Giải thích các bước giải:
`a)a^3+b^3-ab^2-a^2b>=0`
`<=>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0`
`<=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0`
`<=>(a+b)(a-b)^2>=0` luôn đúng `AAa,b>0`
`b)a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd`
`<=>a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2>=0`
`<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2>=0` luôn đúng.