Chúng minh rằng a,b,c>0 ta có: (a+b+c).(1/a+1/b+1/c) >= 9

0 bình luận về “Chúng minh rằng a,b,c>0 ta có: (a+b+c).(1/a+1/b+1/c) >= 9”

1. Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $

   = $\frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c}$ + $\frac{a}{b}$ +$\frac{a}{c}$ +$\frac{b}{a}$ +$\frac{b}{c}$

   +$\frac{c}{b}$ +$\frac{c}{a}$ 

   = $1 + 1 + 1 +$ $+$ ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$)$ + $ ($\frac{a}{c}$$+$$\frac{c}{a}$ ) $+$ ($\frac{b}{c}$+ $\frac{c} {b}$) 

   = $3 + $ ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) + ($\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$ ) + ($\frac{b}{c}$+$\frac{c} {b}$) 

   Vì $a,b,c >0$ nên áp dụng bđt Cô si ta có

   $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ $\geq 2\sqrt[]{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}$ = 2

   $\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$ $\geq 2\sqrt[]{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}$ = 2

   $\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$ $\geq 2\sqrt[]{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}$ = 2

   => $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $ $\geq$ 3 + 2 + 2 +2 = 9

   => đpcm 

   Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 

    

    

   Bình luận

2. Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có :

   $(a+b+c).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) ≥ (a.\dfrac{1}{a}+b.\dfrac{1}{b}+c.\dfrac{1}{c})^2$

   $⇔ (a+b+c).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) ≥ 3^2 = 9$

   Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c$

    

   Bình luận