Chứng minh rằng : A=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc N

0 bình luận về “Chứng minh rằng : A=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc N”

1. Giải thích các bước giải:

   Xét biểu thức:

   x³ + y³ + z³ – 3xyz

   = (x + y)³ – 3xy(x + y) + z³ – 3xyz

   = [(x + y)^3 + z^3] – 3xy(x + y + z)

   = (x + y + z)[(x + y)² – z(x + y) + z²) – 3xy(x + y + z)

   = (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy – xz – yz) – 3xy(x + y + z)

   = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz)

   —> x³ + y³ + z³ = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz) + 3xyz

   Áp dụng biểu thức trên, ta có:

   n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³

   = (n + n + 1 + n + 2)[ n² + (n + 1)² + (n + 2)² -n(n + 1) – (n + 1)(n + 2) – n(n + 2)] – 3n(n + 1)(n + 2)

   = (3n + 3)(n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 – n² – n – n² – 3n – 2 – n² – 2n) – 3n(n + 1)(n + 2)

   = 9(n + 1) – 3n(n + 1)(n + 2)

   Vì n(n + 1)(n + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết 6

   –> 3n(n + 1)(n + 2) chia hết 3.6 = 18 chia hết 9

   –> 9(n + 1) – 3n(n + 1)(n + 2) chia hết 9

   –> n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ chia hết cho 9 (đpcm)

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 =n^3+n^3+1^3+n^3 +2^3

   =(n^3.n^3.n^3)+(1^3+2^3)

   =3n^3+(1+8)

   =3^3.n+9

   vì 9chia hết cho 9 ,3^3 chia hết cho 9 

   suy ra 3^3 nhân với số nào cũng chia hết cho 9

   Bình luận