Chứng minh rằng: a, n ³-n chia hết cho 6 b, n ³-13n chia hết cho 6 c, (4n+3) -25 chia hết cho 8 d, n^5 -5n ³+4n chia hết cho 120

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ $n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$

Do $n(n-1)(n+1) \vdots 3$ (3 số liên tiếp)

và $n(n-1) \vdots 2$ (2 số liên tiếp)

$⇒ n^3-n \vdots 6$ (ĐPCM)

b/ $n^3-13n=n(n^2-13)=n[(n-1)(n+1)-12]=n(n-1)(n+1)-12n$

Do $n(n-1)(n+1) \vdots 3$ (3 số liên tiếp)

và $n(n-1) \vdots 2$ (2 số liên tiếp)

$⇒ n(n-1)(n+1) \vdots 6$

và $12n \vdots 6$

$⇒ n^3-13n \vdots 6$ (ĐPCM)

c/ $(4n+3)^2-25=(4n+3-5)(4n+3+5)=(4n-2)(4n+8)=2(2n-1).4(n+1)=8(2n-1)(n+1)$

Vì $8(2n-1)(n+1) \vdots 8$

nên $(4n+3)^2-25 \vdots 8$ (ĐPCM)

d/ $n^5-5n^3+4n$

$=n(n^4-5n^2+4)$

$=n[(n^4-4n^2+4)-n^2]$

$=n[(n^2-2)^2-n^2]$

$=n(n^2-n-2)(n^2+n-2)$

$=n(n^2+n-2n-2)(n^2-n+2n-2)$

$=n(n+1)(n-2)(n-1)(n+2)$

$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Vì $(n-2)(n-1) \vdots 2$

$(n-2)(n-1)n \vdots 3$

$(n-2)(n-1)n(n+1) \vdots 4$

$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) \vdots 5$

$⇒ n^5-5n^3+4n \vdots 2.3.4.5=120$ (ĐPCM)