Chứng minh rằng
a Nếu $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c
Giúp với mai nộp rồi
Chứng minh rằng
a Nếu $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c
Giúp với mai nộp rồi
Đáp án :
Nếu `a^3+b^3+c^3=3abc` thì `a+b+c=0` hoặc `a=b=c`
Giải thích các bước giải :
`+)a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`Th1 : a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0` (*)
Vì `(a-b)^2 ≥ 0; (b-c)^2 ≥ 0; (c-a)^2 ≥ 0 ∀ a,b,c ∈ R`
`=>` Để xảy ra (*)
`<=>`\begin{cases}(a-b)^2=0\\(b-c)^2=0\\(c-a)^2=0\end{cases}
`<=>`\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}
`<=>`\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}
`=>a=b=c (Tm)`
`+)Th2 : a+b+c=0 (Tm)`
Vậy nếu `a^3+b^3+c^3=3abc` thì `a+b+c=0` hoặc `a=b=c`
~Chúc bạn học tốt !!!~
@py
Bài làm :
Ta có :
a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c
hay ( a + b )³ = -c³
⇔ a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = -c³
⇔ a³ + b³ + c³ = (-3a²b) – 3ab²
⇔ a³ + b³ + c³ = -3ab( a + b ) ( do a + b = -c )
⇔ a³ + b³ + c³ = 3abc → đpcm .