chứng minh rằng ba trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành sáu tam giác có diện tích bằng nhau 13/07/2021 Bởi Bella chứng minh rằng ba trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành sáu tam giác có diện tích bằng nhau
Gọi tam giác của ta là $ABC$, với 3 đường trung tuyến là $AM, BD, CE$ và trọng tâm $G$. Khi đó, ta sẽ cminh rằng diện tích của $MGC$ bằng $\dfrac{1}{6}$ diện tích $ABC$. Các tam giác còn lại chứng minh tương tự. Trước tiên, ta thấy rằng $S_{AMC} = \dfrac{CM}{BC} S_{ABC} = \dfrac{1}{2} S_{ABC}$ do hai tam giác này cùng chiều cao, tuy nhiên, đáy bằng một nửa vì $M$ là trung điểm $BC$. Lại có $S_{GMC} = \dfrac{GM}{AM} S_{AMC} = \dfrac{1}{3} S_{AMC}$ do hai tam giác này chung đáy, tuy nhiên do $G$ là trọng tâm tam giác ABC nên ta có dấu bằng thứ 2. Vậy $S_{GMC} = \dfrac{1}{3} S_{AMC} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} S_{ABC} \right) = \dfrac{1}{6} S_{ABC}$ Bình luận
Gọi tam giác của ta là $ABC$, với 3 đường trung tuyến là $AM, BD, CE$ và trọng tâm $G$.
Khi đó, ta sẽ cminh rằng diện tích của $MGC$ bằng $\dfrac{1}{6}$ diện tích $ABC$. Các tam giác còn lại chứng minh tương tự.
Trước tiên, ta thấy rằng
$S_{AMC} = \dfrac{CM}{BC} S_{ABC} = \dfrac{1}{2} S_{ABC}$
do hai tam giác này cùng chiều cao, tuy nhiên, đáy bằng một nửa vì $M$ là trung điểm $BC$.
Lại có
$S_{GMC} = \dfrac{GM}{AM} S_{AMC} = \dfrac{1}{3} S_{AMC}$
do hai tam giác này chung đáy, tuy nhiên do $G$ là trọng tâm tam giác ABC nên ta có dấu bằng thứ 2.
Vậy
$S_{GMC} = \dfrac{1}{3} S_{AMC} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} S_{ABC} \right) = \dfrac{1}{6} S_{ABC}$