chứng minh rằng ba trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành sáu tam giác có diện tích bằng nhau

Gọi tam giác của ta là $ABC$, với 3 đường trung tuyến là $AM, BD, CE$ và trọng tâm $G$.

Khi đó, ta sẽ cminh rằng diện tích của $MGC$ bằng $\dfrac{1}{6}$ diện tích $ABC$. Các tam giác còn lại chứng minh tương tự.

Trước tiên, ta thấy rằng

$S_{AMC} = \dfrac{CM}{BC} S_{ABC} = \dfrac{1}{2} S_{ABC}$

do hai tam giác này cùng chiều cao, tuy nhiên, đáy bằng một nửa vì $M$ là trung điểm $BC$.

Lại có

$S_{GMC} = \dfrac{GM}{AM} S_{AMC} = \dfrac{1}{3} S_{AMC}$

do hai tam giác này chung đáy, tuy nhiên do $G$ là trọng tâm tam giác ABC nên ta có dấu bằng thứ 2.

Vậy

$S_{GMC} = \dfrac{1}{3} S_{AMC} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} S_{ABC} \right) = \dfrac{1}{6} S_{ABC}$