Chứng minh rằng: $f(x) = (x^2 – x + 1)^{1994} + (x^2 + x – 1)^{1994} – 2$ chia hết cho $x – 1$. Tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho $x^2 – 1$

Gọi $R$ là phần dư trong phép chia $f(x)$ cho $x – 1$

Áp dụng định lý Bézout, ta được:

$R = f(1) = (1^2 – 1 + 1)^{1994} + (1^2 + 1 – 1)^{1994} – 2 = 1 + 1 – 2 = 0$

Vậy $f(x)\quad \vdots \quad x – 1$

Gọi $R = ax + b$ là phần dư trong phép chia $f(x)$ cho $x^2 – 1$

Áp dụng định lý Bézout ta được:

$\begin{cases}R = f(1)\\R = f(-1)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a + b = 0\\-a + b = 3^{1994} – 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = \dfrac{1- 3^{1994}}{2}\\b = \dfrac{3^{1994} – 1}{2}\end{cases}$

Vậy $R = \dfrac{1 – 3^{1994}}{2}x + \dfrac{3^{1994} – 1}{2}$