Chứng minh rằng hàm số y =|x| không có đạo hàm tại x = 0.
Hàm số y =|x| có đạt cực trị tại điểm x = 0 hay không ?
Chứng minh rằng hàm số y =|x| không có đạo hàm tại x = 0.
Hàm số y =|x| có đạt cực trị tại điểm x = 0 hay không ?
Đáp án:
Hàm số $y =|x|$ có đạt cực trị tại điểm $x = 0$ và $x=0$ là điểm cực tiểu.
Lời giải:
$\begin{array}{l} y = \left| x \right|\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right| – 0}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{\left| x \right| – 0}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = – 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}}\\ \Rightarrow \text{ hàm số }y = \left| x \right|\text{ không có đạo hàm tại }x = 0.\\ \text{Mà }y = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\text{ khi }x \ge 0\\ – x\text{ khi }x < 0 \end{array} \right.\\ \text{Bảng biến thiên:}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, – \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \infty \\ y = \left| x \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \infty \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ \Rightarrow x = 0\text{ là điểm cực tiểu của hàm số }y = \left| x \right|. \end{array}$.