Chứng minh rằng hiệu các bình phương hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

0 bình luận về “Chứng minh rằng hiệu các bình phương hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.”

1. Gọi hai số lẻ bất kì là 2m + 1 và 2n +1 (m,n ∈ N)

   Ta có: hiệu các bình phương hai số lẻ 2m + 1 và 2n + 1 là

    $(2m + 1 )^2 – (2n+1)^2$

   $= (2m)^2 + 4m + 1 – (2n)^2 – 4n – 1$

   $=4m^2 + 4m – 4n^2 – 4n $

   $=4(m^2 + m – n^2 – n)$

   $=4[m(m+1) – n(n+1)]$

   Vì m,n ∈ N nên m(m+1) và n(n+1) lần lượt là tích các số tự nhiên liên tiếp

   Do đó:$\text{m(m+1) $\vdots$ 2}$

              $\text{n(n +1) $\vdots$ 2}$

   ⇒ $\text{m(m+1) – n(n+1) $\vdots$ 2}$

   Do đó: $\text{4[m(m+1) – n(n+1)] $\vdots$ 4.2}$

           ⇒ $\text{4[m(m+1) – n(n+1)] $\vdots$ 8}$

        Hay $ (2m + 1 )^2 – (2n+1)^2 \vdots 8 $

   Vậy hiệu các bình phương hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    $\text{Gọi 2 số là bất kì là $2x+1$ và $2y+1$ $(x;y\in{Z})$}$

   $\text{Ta có:}$

   $(2x+1)^2-(2y+1)^2$

   $=(4x^2+4x+1)-(4y^2+4y+1)$

   $=4x^2+4x+1-4y^2-4y-1$

   $=(4x^2+4x)-(4y^2+4y)$

   $=4x(x+1)-4y(y+1)$

   $\text{Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên}$

   ${x(x+1)}\vdots{2};{y(y+1)}\vdots{2}$

   Mà ${4x(x+1)}\vdots{4};{4y(y+1)}\vdots{4}$

   $=>{4x(x+1)}\vdots{8};{4y(y+1)}\vdots{8}$

   Hay ${(2x+1)^2-(2y+1)^2}\vdots{8}$

   $\text{=>ĐPCM}$

   Chúc bạn học tốt.

   Bình luận