Chứng minh rằng: `n^3 – 3n^2 – n + 3` chia hết cho 48 với mọi số lẻ n

0 bình luận về “Chứng minh rằng: `n^3 – 3n^2 – n + 3` chia hết cho 48 với mọi số lẻ n”

1. Đáp án:

   $n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3)=(n-3)(n-1)(n+1)$

   $Vì$ $n$ $lẻ$ $nên$:

   $(n-1)(n+1)$$là$ $tích$ $của$ $2số$ $chẵn$ $liên$ $tiếp$ $chia$ $hết$ $cho$ $8$

   $(n-3)$ $là$ $số$ $chẵn$ $chia$ $hết$ $cho2$

   $⇒n^3-3n^2-n+3 $$chia$ $hết$ $cho$ $16$$(1)$

   $Mặt$ $khác$:$n^3-3n^2-n+3=n^3-n-3(n^2-1)=n(n-1)(n+1)-3(n^2-1)$

   $Xét$ $các$ $TH$:

   $n=3k⇒n(n-1)(n+1)-3(n^2-1)$$chia$ $hết$ $cho$ $3$

   $n=3k+1⇒(n-1)$$chia$ $hết$ $cho$ $3 $

   $n=3k+2⇒(n+1)$$chia$ $hết$ $cho$ $3 $

   $⇒n^3-3n^2-n+3$$chia$ $hết$ $cho$ $3 $$(2)$

   $Từ(1);(2)⇒n^3-3n^2-n+3$$chia$ $hết$ $cho$ $48 $

   Bình luận

2. Đáp án:

    Ta có

   `n^3 – 3n^2 – n + 3`

   `= n^2(n – 3) – (n – 3)`

   `= (n – 3)(n^2 – 1)`

   `= (n – 3)(n – 1)(n + 1) (1)`

   Đặt `n = 2k + 1 (k in N)`

   ` (1) <=> (2k + 1 – 3)(2k +1 – 1)(2k + 1 + 1)`

   `= (2k – 2).2k.(2k + 2)`

   `= 8(k – 1)k(k + 1)`

   Do `k – 1 , k , k + 1` là `3` số liên tiếp

   `-> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `3 (2)`

   Do `k – 1 , k` là `2` số liên tiếp

   `-> (k – 1)k` chia hết cho `2`

   `-> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `2 (3)`

   Từ `(2)(3)`

   `-> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `6           (2,3) = 1`

   `-> 8(k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `48`

   `-> đpcm`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận