Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

Đáp án:

Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau:

TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5.

TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1 

⇒ 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2 

⇒ 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3 

⇒ 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4 

⇒ n +1= 5k + 5 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

Giải thích các bước giải: