Chứng minh rằng nếu ( a,b ) = 1 mà a . b là số chính phương thì a , b cũng là số chính phương

0 bình luận về “Chứng minh rằng nếu ( a,b ) = 1 mà a . b là số chính phương thì a , b cũng là số chính phương”

1. Đặt $a.b=c^2$

   Gọi $ƯCLN(a;c)=d$

   Khi đó $a=a_1.d;c=c_1.d$ ($(a_1;c_1)=1$)

   Mà $ab=c^2$

   $⇒a_1.d.b=(c_1.d)^2$

   $⇒a_1b=c_1^2.d$

   $⇒a_1b \vdots c_1^2 ⇒b \vdots c_1^2$ (do $(a_1;c_1)=1$)

   và $c_1^2.d \vdots b⇒c_1^2 \vdots b$ (vì $(a;c)=d$ mà $(a;b)=1$ nên $(b;d)=1$)

   Mà $b \vdots c_1^2$ lại có $c_1^2 \vdots b$ ⇒$c_1^2=b$ là số chính phương

   Mà $ab=c^2⇒a.c_1^2=c^2⇒a=\dfrac{c^2}{c_1^2}=\dfrac{c_1^2.d^2}{c_1^2}=d^2$ là số chính phương

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Giả sử ab=c^2 với a,b,c∈N⋆,(a,b)=1 

   Giả sử trong 2 số a và b có một số , chẳng hạn a chứa thừa số nguyên tố p với số mũ lẻ thì số b không chứa thừa số p nên c^2 chứa thừa số nguyên tố pp với số mũ lẻ (trái với giả thiết c^2là số chính phương)

   Bình luận